一類平面幾何最值探秘

黃建棟 張淼

【摘要】 本文探究非局部平面中線長的最值.這類最值問題往往以求a+kb，或a+b+…（其中a，b，…是線段，k是系數）長的最值的形式出現.而a+b+…可視作a+kb當k=1時的推廣.所以研究這類幾何最值可以從研究不同的k值涉及何種最值入手.本文通過對k=0這種情況的深入研究，探得相應的解題策略.

【關鍵詞】 幾何;最值;求解;規律

平面幾何最值，既有線長的最值.也有面積的最值.就最值所在平面來說，因整體與局部也會影響最值.本文僅涉及非局部平面中線長的最值.這類最值，本質上都是點與點間連線的最值，基本依據是兩點之間線段最短;垂線段最短.但由于點有定點和動點之分，點的個數有不同，動點的軌跡有顯或隱，有直線或圓，使之變化萬千，造成解題困惑.為此，找出這類最值問題解題的一般規律，就顯得十分必要.

通過對這類平面幾何最值問題的綜合思考.作者認為所有這類平面幾何最值問題，皆是求a+kb或a+b+…（其中a，b，…是線段，k是系數）長的最值，而a+b+…可視作a+kb，當k=1時的推廣.因此，只要就a+kb中不同的k，研究不同解題方法即可.本文僅就k=0作探究.

當k=0時，即求一條線段的最值.這類問題，解題的關鍵是先求得動點運動的軌跡，或借助旋轉變換、位似變換，轉換點的位置求解;當動點軌跡已知時，往往要把幾何最值結合代數方法或轉化為代數最值求解.

例1 如圖1，AB為⊙O的直徑，C，D為半圓上的動點，且∠COD=90°.連接AC，BD交于點E，F為OB的中點.若AB=4，求EF的最小值.

分析 本題F為定點，E為動點，關鍵是尋找動點運動的軌跡.

由∠COD=90°，得∠CAB+∠DBA=45°，

所以∠AEB=135°.

點E在對AB張角為135°的一條圓弧上.設弧的圓心為P，則當P，F，E三點共線時，EF有最小值.（EF最小=22-5）

例2 如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，點D是半徑為4的⊙A上一點，連接BD，點M是BD的中點，求線段CM的最大值.

分析 點M隨點D在⊙A上運動而運動.設AB的中點為O，連OM，

則OM=12AD=2，

所以隨著點D在⊙A上運動，點M在半徑為2的⊙O上運動，當C，O，M共線，且點M在CO的延長線上時，CM有最大值.（CM最大=7）

例3 （1）如圖3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，且A，B在半徑為3的⊙O上，當點A在⊙O上運動時，求OC的最小值.

（2）改（1）中的條件AB=AC為∠A=30°，如圖4，其他不變，求OC的最小值.

分析 （1）本題中，C隨A動而動，動點C的軌跡是什么？有一個公共頂點的一組相似三角形，當它的一組對應點在直線（或圓）上運動時，它的另一組對應點也必在直線（或圓）上運動，所以點C的運動軌跡也是圓.當AB是⊙O直徑時，由于BC=AB，AB丄BC，所以只要作直徑A′B，過B作BC′⊥A′B，且BC′=A′B.設BC′中點為P，則點C必在以BC′為直徑的⊙P上運動，如圖5，當點C在OP上時，OC有最小值.（OC最小=32-3）

（2）如圖6，解法與（1）基本相同，所不同的是，因為∠A=30°，所以BC=3AB3，從而⊙P直徑為23，OC的最小值為3.

值得指出的是，本題還有一種解法：鑒于OC在圓內，若能把它移到一點在圓上，另一點在圓外，也是一種方法.但這時就要用到旋轉變換.對于（1）來說，連OB，把△OCB繞點B按順時針旋轉90°，即能達到目的，此時點C與點A重合.設O落在點O′的位置（圖7），則當點A在OO′上時，O′A最小，即OC最小;但對（2）來說，如此旋轉，點C不與點A重合，為此還要借助于位似變換（位似比3），使點C與點A重合（圖8）.但用這種方法求解，增加了難度，也不容易理解.

例4 如圖9，邊長為3的等邊三角形ABC的頂點A在x軸的正半軸上移動.∠AOD=30°，頂點B在射線OD上隨之移動，求頂點C到原點O的最大距離.

分析 本題有兩種解題方法.

方法1 正△ABC在運動過程中只改變位置關系，而不改變其數量關系.故其AB邊上的中線（設為CM）長不變，而OC≤OM+MC.

當OC=OM+MC時有最大值.（此時OC過點M，又OC⊥AB，所以△OAB為等腰三角形，OM=3+332，MC=332，OC最大=33+3，圖略）

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方法2 為了解題方便，不妨動靜互換，即△ABC不動，而∠AOB運動.這時，點O在對AB的張角為30°的圓弧上運動.設圓弧的圓心為P，連接CP并延長交圓弧于點O′，則O′C即為原點O到點C的最大距離.（如圖10）

上述4例，動點的軌跡都是圓弧，但也有動點的軌跡是直線（射線、線段）的.

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例5 如圖11，在直角坐標系中，有等腰△ABC，∠CAB=120°，B（0，3），點C與原點O重合.當點C在x軸負半軸上運動時，點A隨之運動，求OA的最小值.

分析 點C在x軸負半軸上運動，點A運動的軌跡必

為射線.

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如圖12，連接AA′，即有

△A′BA∽△C′OB（△C′CB），

所以∠BAA′=∠BOC′=90°，

從而知道點A運動的軌跡是過點A與AB垂直的射線AA′.所以又歸結為點線最值問題，由此OA的最小值即是點O到射線AA′的垂線段的長OH.

（OH=32，即OA最小=32）

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例6 如圖13，在平面直角坐標系中，點A，B在反比例函數y=2x（x>0）的圖象上運動，且AB=42，M為AB的中點，連接OM，求線段OM的最小值.

分析 當動點軌跡已知時，往往要把幾何最值結合代數方法或轉化為代數最值求解.

方法1 設Aa，2a，Bb，2b，

Ma+b2，1a+1b，

所以（a-b）2+2a-2b2=32，

所以OM2=a+b22+1a+1b2

=ab+4ab+8≥2ab·4ab+8

=12.

（當a，b均為非負實數時，a+b≥2ab）

所以OMmin=23.

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方法2 當OM⊥AB時，OM最小，此時OA=OB，點A，B關于直線y=x對稱，設Aa，2a，B2a，a，

M1a+a2，1a+a2，

所以2a-2a2=32，

則a2+4a2=20，

所以OM2=21a+a22

=21a2+a24+1

=12，

所以OMmin=23.