平面直角坐標系中求三角形面積的方法探究

歐利

【摘要】 本文主要是研究在平面直角坐標系的不同位置類型的三角形面積求法探討，最后總結出寬高公式法的用法.

【關鍵詞】 三角形面積;寬高公式法

平面直角坐標系中三角形的面積問題一直是中考常考題型，運用適當的面積求法會事半功倍.今天將根據三角形在平面直角坐標系中的不同位置探討三角形的面積方法.

類型1 三角形的兩邊都在坐標軸上

如圖1，點A在x軸上，點B在y軸上，則

S△AOB=12·OA·OB.

類型2 三角形的一邊在坐標軸上

如圖2，3，B，C在x軸上，則

S△ABC=12·BC·AD=12·BC·|yA|.

類型3 三角形有一邊平行于坐標軸

如圖4，5，AB∥y軸，則

S△ABC=12·AB·CD=12·AB·|xA-xC|.

注 類型一、二、三中的三角形至少有一條邊在坐標軸上或者平行于坐標軸，求面積時只需要將這條邊作為底邊即可.

下面將主要探討三角形中三條邊均不在坐標軸上或均不與坐標軸平行的情形（為了方便，下面所有三角形均在第一象限討論）.

如圖6，求△ABC的面積.

下面將從割補思想來討論.

補思想：

方法1 如圖7，過點B作BM∥x軸交CA的延長線于點M，則

S△ABC=S△BMC-S△BMA

=12·BM·CE-12·BM·AD

=12·BM·CN

=12·BM·|yC-yA|.

或如圖8，過點A作AM∥y軸交CB的延長線于點M，則

S△ABC=S△AMC-S△AMB

=12·AM·CD-12·AM·BE

=12·AM·CN

=12·AM·|xC-xB|.

方法2補成一個梯形

如圖9，分別過點A，C作x軸的垂線與過點B且平行于x軸的直線交于點M，N，則四邊形AMNC為梯形，則S△ABC=S梯形AMNC-S△AMB-S△BNC

=12·（AM+CN）·MN-12·BM·AM-12·BN·CN.

也可以補成一個矩形，如圖10，則

S△ABC=S矩形CDMN-S△AMB-S△BNC-S△ACD

=DM·MN-12·BM·AM-12·BN·CN-

12·AD·CD.

方法3 平行線法

3

如圖13，如果已知直線AC解析式，則過點B作直線平行直線AC，交過點A且平行y軸的直線于點D，則S△ABC=S△ADC，因為△ADC有一條邊平行坐標軸，問題就轉化成類型3.

除此之外，還可以用分割的方法.

如圖12，過點B作BM∥y軸交AC于點M，則

S△ABC=S△BMA+S△BMC

=12·BM·AE+12·BM·CD

=12·BM·|xC-xA|.

一般地，圖12中BM稱為△ABC的鉛垂高，|xC-xA|稱為△ABC的水平寬.或者如下圖13，過點A作AN∥x軸交BC于點N，則

S△ABC=S△ANB+S△ANC

=12·AN·BD+12·AN·CE

=12·AN·|yC-yB|.

2圖13

其圖中|yC-yB|稱為△ABC的鉛垂高，AN稱為△ABC的水平寬.

上面用分割思想求的三角形面積方法，我們一般稱為“寬高公式法”，即三角形的面積S=12×水平寬×鉛垂高.

寬高公式法對于任意三角形都是適合的，這也大大縮短了三角形面積問題的思考時間，只需過三角形一個頂點作平行于x軸或y軸的直線就可以實現.

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如圖14，過點A作x軸的平行線交直線BC于點E，過點B作與x軸平行的直線與過點C作y軸平行的直線相交，交點為D，則

S△ABC=12·AE·CD

=12·AE·|yC-yB|.

或者如圖15，過點B作y軸的平行線交直線AC于點M，過點C作與x軸平行的直線與過點A作y軸平行的直線相交，交點為D，則

S△ABC=12·BM·CD=12·BM·|xA-xC|.

5圖16

或者如圖16，過點C作y軸的平行線交直線AB延長線于點M，過點A作與x軸平行的直線與過點B作與y軸平行的直線相交，交點為F，則

S△ABC=12·CM·AF=12·CM·|xA-xB|.