三角形四心的應用

劉永中

1 重心

定義 三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心

重要性質 三角形的重心把每條中線分成1∶2兩部分.

例1 如圖1，已知點F是△ABC的重心，連接BF并延長，交AC于點E，連接CF并延長，交AB于點D，過點F作FG∥BC，交AC于點G.設△EFG，四邊形FBCG的面積分別為S1，S2，則S1∶S2=.

解 因為點F是△ABC的重心，

所以BF=2EF，

所以BE=3EF，

因為FG∥BC，

所以△EFG∽△EBC，

所以EFBE=13，

S1S△EBC=132=19，

所以S1∶S2=1∶8.

2 內心

定義 三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心.

重要性質 三角形的內心是三角形內切圓的圓心，它到三角形三邊的距離相等.

例2 問題背景：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.若一個多邊形的每個內角角平分線都交于一點O，點O叫做該多邊形的內心，點O到其中一邊的距離叫做r.

問題解決：如圖2，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內心O到邊AC的距離為r，則說明r=.

類比推理：如圖3，存在內心O的四邊形ABCD的面積為S，周長為l，用含有S與l的式子表示內心O到邊AB的距離r=.

理解應用：如圖4，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=21，CD=11，AD=BC=13，對角線BD=20，點O1與O2分別為△ABD與△BCD的內心，它們到各自三角形的邊的距離分別為r1和r2，求r1r2的值.

解 問題解決：如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，三條角平分線的交點O到三邊的距離為r.連接OA，OB，OC，△ABC被劃分為三個小三角形.

因為 S=S△OBC+S△OAC+S△OAB

=12BC·r+12AC·r+12AB·r

=12（a+b+c）·r，圖5

所以r=2Sa+b+c.

類比推理：如圖5中，連接OA，OB，OC，OD，

因為S=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD

=12a·r+12b·r+12c·r+12d·r

=12（AB+BC+CD+AD）r

=12lr，

所以r=2Sl.

理解應用：因為AB∥CD，

所以S△ABD∶S△BCD=AB∶CD=21∶11;

因為r1=2S△ABDAB+BD+AD=2S△ABD54，

r2=2S△CDBCD+CB+BD=2S△CDB44，

所以r1r2=2S△ABD542S△CDB44=2227×S△ABDS△CDB=2227×2111=149.

3 外心

定義 三角形三邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心.

重要性質 三角形的外心是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.

例3 一個直角三角形兩條直角邊的長分別為6cm，8cm，則這個直角三角形的內心與外心之間的距離是cm.

解 如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，圖6

AC=6cm，BC=8cm，

所以AB=10cm，

設Rt△ABC的內切圓的半徑為r，則 OD=OE=r，

因為∠C=90°，

所以CE=CD=r，

AE=AN=6-r，

BD=BN=8-r，

所以8-r+6-r=10，

解得r=2cm，

所以AN=4cm，

在Rt△OMN中，MN=AM-AN=1cm，

所以OM=5cm.

4 垂心

定義 三角形三邊上的高線的交點叫做三角形的垂心.

重要性質 三角形的任意兩個頂點和對應重足四點共圓.

例4 如圖7，△ABC的三條高AD，BE，CF交于點O，若AB=6，BC=5，EF=3，則線段BE的長為.

解 因為AD，BE，CF為△ABC的三條高，

所以B，C，E，F四點共圓，

于是∠AEF=∠ABC，

∠AFE=∠ACB，

所以△AEF∽△ABC，

所以AFAC=EFBC=35，

即cos∠BAC=AFAC=35，

所以sin∠BAC=1-352=45，

所以在Rt△ABE中，

BE=ABsin∠BAC=6×45=245.

總之，三角形的重心、內心、外心、垂心在中考試題中頻繁出現，把握其性質，靈活運用是關鍵.