基于拉氏變換的常系數線性微分方程的初值問題

趙小玲

（上海電機學院文理學院，上海 201306）

拉普拉斯變換是一種具有廣泛應用的積分變換。由于拉氏變換及其逆變換有一些簡潔明了易于計算的性質，在各領域都有著廣泛的應用。而運用拉氏變換的性質去解決較復雜的常系數非齊次線性微分方程的初值問題也成為解這一類特殊微分方程的好方法。

1 拉普拉斯變換的定義和性質

拉氏變換的幾個主要性質在實際應用中都很重要。這些性質都可由拉氏變換的定義及相應的運算性質加以證明。

性質1表明，函數的線形組合的拉氏變換等于各函數的拉氏變換的線形組合。此性質也可以推廣到有限個函數的線形組合的情形。

性質2表明，像原函數乘以后所做拉氏變換的像函數，等于其原先像函數作平移，因此性質2稱為平移性質。

性質4表明，一個函數求導后取拉氏變換，等于這個函數的拉氏變換乘以參數s再減去這個函數的初值。這使得我們有可能將的微分方程的初值問題化作的代數方程。此性質還可以推廣到函數的 階導數的情形。因此性質4在解微分方程中有重要作用。

與性質4相對應，性質5表明一個函數積分后取拉氏變換，等于這個函數的拉氏變換除以參數。性質5也可以推廣到有限次積分的情形

2 拉氏變換的逆變換

在求像原函數時，常從拉氏變換表中查找，同時要結合拉氏變換的性質。因此把常用的拉氏變換的性質用逆變換的形式列出如下。

在用拉氏變換解決工程技術中的應用問題時，經常遇到的像函數是有理分式。一般可將其分解為部分分式之和，然后再利用拉氏變換表求出像原函數。

3 微分方程的拉氏變換解法

在解決常系數非齊次線性微分方程的初值問題時，若運用微分方程的一般解法，首先要求出常系數非齊次線性微分方程所對應的齊次線性微分方程的通解和非齊次線性微分方程本身的一個特解，得到非齊次線性微分方程的通解。然后代入初始條件，求出通解中的常數，從而得到常系數非齊次線性微分方程滿足某種初始條件的特解。整個解題過程略顯繁雜。

而利用拉氏變換解常系數非齊次線性微分方程時，則在對微分方程作拉氏變換的過程中就考慮了初始條件，得到的就是滿足這個初始條件的特解，相對比較簡潔。其具體步驟如下：常系數線性微分方程作拉普拉斯變換（考慮到初始條件），得到像函數的代數方程；解代數方程，得到像函數并分解成部分分式之和；利用拉氏變換表求出像函數的拉普拉氏逆變換，得到像函數的原函數，即微分方程的特解。

用一般的微分方程的解法：

即為原方程滿足初始條件的特解。

用拉氏變換解線性微分方程，在求解過程中就考慮了初始條件，得出的就是滿足題設初始條件的特解，很簡潔。可見，在解決常系數線性微分方程的初值問題時，用拉普拉斯變換法是一種非常簡便有用的方法。