周期性負荷擾動下電網(wǎng)及彈簧網(wǎng)強迫功率振蕩分析

程志勇，路廣才，竺煒

(長沙理工大學 電氣與信息工程學院，長沙 410114)

0 引 言

隨著我國電網(wǎng)規(guī)模不斷擴大，低頻振蕩已成為影響互聯(lián)電網(wǎng)安全穩(wěn)定運行的突出問題、低頻振蕩事故時有發(fā)生[1-4]。目前有關電力系統(tǒng)低頻振蕩研究較為成熟的理論主要有負阻尼理論及強迫功率振蕩理論[5-8]，前者由于系統(tǒng)本身缺乏足夠的阻尼，尤其是隨著大容量機組高放大倍數(shù)、快速勵磁系統(tǒng)的比例增加，系統(tǒng)阻尼進一步下降，甚至變?yōu)樨撟枘幔斚到y(tǒng)受到外部擾動時，就會產生發(fā)電機轉子間的相對搖擺，表現(xiàn)在輸電線路上即出現(xiàn)功率波動[9]。后者主要是由于系統(tǒng)中存在持續(xù)周期性小擾動，當擾動頻率與電力系統(tǒng)固有振蕩頻率相同或接近時，就會出現(xiàn)強烈的共振現(xiàn)象[10]。針對負阻尼低頻振蕩，可以通過增強系統(tǒng)阻尼加以抑制，如加強電網(wǎng)結構、采用直流輸電技術、輸電線路采用串聯(lián)補償電容、加裝靜止無功補償器(Static Var Compensator, SVC)、附加電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(Power System Stabilizer, PSS)等[11-12]。而對于強迫功率振蕩，由于振蕩源的不確定性，振蕩事故難以提前預測，因此對其深入研究具有重要實際意義。文獻[13-14]分別從單機和多機系統(tǒng)闡述了強迫功率振蕩產生的機理。文獻[15]分析了汽輪機壓力脈動對強迫功率振蕩的影響。文獻[16]通過對汽輪機組功頻調速控制機制的研究，分析了電網(wǎng)側擾動對共振型低頻振蕩的影響。文獻[17]從負荷角度出發(fā)，指出周期性負荷引發(fā)強迫功率振蕩的機理。文獻[18]基于功率譜密度方法搭建了多機系統(tǒng)的頻率響應模型，分析了隨機擾動下電力系統(tǒng)的強迫功率振蕩特征。

文章通過將電網(wǎng)映射成彈簧網(wǎng)，研究了負荷擾動下強迫功率振蕩的特征，利用電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)振蕩模態(tài)的對比分析，驗證了彈簧網(wǎng)的合理性，為更好的研究強迫功率振蕩提供一種新的思路。

1 單機無窮大系統(tǒng)及單自由度彈性系統(tǒng)

1.1 單機無窮大系統(tǒng)分析

圖1 單機無窮大系統(tǒng)Fig.1 A single-machine infinite-bus system

忽略線路損耗及分布電容，單機無窮大系統(tǒng)線性化后的運動方程可表示為：

(1)

式中ΔPe=KΔδ，K=E′U/X∑cosδ0為同步力矩系數(shù)，M為發(fā)電機慣性時間常數(shù)，D為阻尼系數(shù)，Δδ為功角偏差。

忽略原動機功率變化，即令ΔPm=0，則式(1)又可以表示為：

(2)

特征方程為：

(3)

無阻尼時，系統(tǒng)固有振蕩頻率為：

(4)

設節(jié)點2處存在負荷波動，則有

ΔPe=KsΔδ+KpΔPd+KqΔQd

(5)

式中Ks與K類似，視為同步力矩系數(shù)，Kp、Kq為與負荷相關的系數(shù)[17]，ΔPd，ΔQd為負荷波動量。

若僅考慮有功負荷變化，即ΔQd=0，且滿足ΔPd=ΔPdmsin(ωt)，并將式(5)帶入式(1)后整理得：

(6)

上式為二階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由通解(自由振蕩)和特解(強迫振蕩)構成[13]。設特解為Δδ=Bsin(ωt-φ)，將其代入式(6)可解得強迫功率振蕩振幅及相位：

(7)

(8)

式中υ=ω/ωn為頻率比，ζ=D/(2Mωn)為系統(tǒng)阻尼比。由式(7)可知，當頻率比υ=1，即擾動頻率接近或等于系統(tǒng)固有頻率時，振幅最大，將會產生強迫功率振蕩。

1.2 單自由度彈性系統(tǒng)分析

單自由度彈性系統(tǒng)由質量塊(質點)、彈簧、阻尼器、固定點構成[19]，其結構如圖2所示。

圖2 單自由度彈性系統(tǒng)Fig.2 Single degree of freedom elastic system

無擾動時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，質點位于平衡位置。以平衡點為坐標原點建立坐標軸x，則根據(jù)牛頓定律可得系統(tǒng)的運動微分方程：

(9)

式中m為質量，單位kg；c為阻尼系數(shù);k為彈性系數(shù)(剛度系數(shù))，單位N/m;p0sin(ωt)為周期性擾動。解得共振振幅與相位：

(10)

(11)

對比式(6)與式(9)，可得到如下映射關系：

文獻[20]中已定義彈簧彈性系數(shù)k和彈簧位移x：

(12)

x=θj-θi

(13)

式中Ui、Uj為線路首末端電壓幅值，θi、θj為其對應相位，θij為相位差，XL為線路阻抗。

2 多機電力系統(tǒng)及多自由度彈性系統(tǒng)

2.1 多機電力系統(tǒng)分析

發(fā)電機采用二階模型，文獻[17]表明機組電磁功率的偏移可以表示為轉子角偏移和負荷擾動的函數(shù)，即：

(14)

式中i=1，2，…，n為對應發(fā)電機臺數(shù)，Kij=?Pei/?δj為等效同步系數(shù)，Kpi為負荷有功功率機組分配因子，ΔPL為負荷擾動。

多機系統(tǒng)線性化后的運動方程為：

(15)

忽略原動機機械功率變化，由式(14)、式(15)，整理后得到一個由多機系統(tǒng)構成的常系數(shù)非齊次微分方程組：

(16)

針對小擾動下的電力系統(tǒng)低頻振蕩問題，通常是將線性化后的運動方程表示成狀態(tài)方程形式，然后利用狀態(tài)方程系數(shù)矩陣獲取系統(tǒng)振蕩模態(tài)信息，并求解狀態(tài)變量[21]。故式(16)又可以改寫成狀態(tài)方程矩陣形式：

(17)

(18)

(19)

式(19)右邊第一項為系統(tǒng)自由振蕩項，與狀態(tài)變量的初值有關；第二項為強迫振蕩項，與擾動向量有關。由于阻尼的存在，系統(tǒng)自由振蕩項最終衰減為零。若擾動一直持續(xù)下去，則強迫振蕩項不隨時間衰減，表現(xiàn)為持續(xù)性的周期振蕩，只有當擾動源消失，強迫振蕩才逐漸衰減至初始狀態(tài)，所以相比自由振蕩而言，強迫振蕩更值得關注。

設矩陣A有n個線性無關的特征向量，則有：

eAt=ΦeΛtΦ-1

(20)

式中Λ為矩陣A的特征值λi構成的對角矩陣;Φ為矩陣A特征值對應的特征向量;Φ-1為Φ的逆矩陣。電力系統(tǒng)中的負荷波動可以利用傅里葉變換將其分解成一系列的周期性函數(shù)組合，即可設擾動滿足：

B(t)=Bsin(ωt)

(21)

式中B=[B1B2…Bn]T，則由式(19)、式(20)及式(21)可解得強迫振蕩項：

xF(t)=ΦUi(ωt)Φ-1B

(22)

式中

(23)

(24)

式中σi和ωi為特征值λi所對應的實部和虛部。由式(24)可以看出當擾動頻率滿足ω=ωi時，ui(ωt)幅值最大，系統(tǒng)發(fā)生第i階強迫振蕩。

2.2 多自由度彈性系統(tǒng)分析

將電網(wǎng)模型映射成彈簧網(wǎng)模型，并在彈簧網(wǎng)模型中增加原發(fā)電機內電勢支路對應節(jié)點，編號1，2，…，n；其余網(wǎng)絡節(jié)點編號n+1，n+2，…，n+m。如圖3所示，節(jié)點i，j受力分別為fi、fj，位移為xi、xj。類似于求解潮流過程中各節(jié)點注入有功功率增量：ΔP=(UiUj/XL)cosθijΔθij，彈簧網(wǎng)中各節(jié)點受力滿足：

圖3 彈性支路受力示意圖Fig.3 Strength schematic diagram of elastic branch

Δfi=fj-fi=k(xj-xi)=kΔxi

(25)

式中i=1，2，…，n+m。

將式(25)改寫成矩陣形式

(26)

(27)

將式(27)帶入到彈簧網(wǎng)質量塊運動方程可得：

(28)

式中i=1，2，…，n。對比式(16)與式(28)，發(fā)現(xiàn)二者在數(shù)學形式上具有一致性，采用類似求解式(16)的方法，以彈簧位移及位移導數(shù)為狀態(tài)變量，將式(28)改寫成狀態(tài)方程矩陣形式，通過求解狀態(tài)方程所對應的系數(shù)矩陣即可得到系統(tǒng)的振蕩模態(tài)等信息，同樣得出在擾動頻率與系統(tǒng)固有頻率相同時發(fā)生強迫振蕩，具體求解過程同上，這里不再詳述。

3 算例分析

3.1 單機無窮大系統(tǒng)及單自由度彈性系統(tǒng)

設2號母線處發(fā)生有功負荷周期性擾動，擾動頻率等于系統(tǒng)有阻尼固有振蕩頻率ωd，擾動大小為總有功負荷10%。即：ΔPd=0.03sin(7.80t)，擾動時間0～10 s。發(fā)電機有功出力曲線如圖4所示。

圖4 單機無窮大系統(tǒng)發(fā)電機有功出力曲線Fig.4 Generator active output curve of single-machine infinite-bus system

單自由度彈性系統(tǒng)結構如圖5所示，由式(12)、式(13)，可得發(fā)電機支路、變壓器支路、線路彈性系數(shù)分別為：KM=3.570，KT=49.764，KL=3.280;質量塊：m=M/ω0=0.025 5;阻尼系數(shù)：c=D/ω0=0.019 1。

圖5 單自由度彈性系統(tǒng)模型Fig.5 Single degree of freedom elastic system model

彈性系統(tǒng)振蕩模式：γ1，2=-0.375±8.050i，阻尼比：ζ=4.653，無阻尼振蕩頻率ωn=1.282 Hz，有阻尼振蕩頻率ωd=1.280 Hz。

施加如圖5所示擾動，擾動大小：ΔfL=0.03sin(8.05t)，擾動時間0～10s，質量塊所受拉力如圖6所示。

圖6 單自由度系統(tǒng)質塊受力曲線Fig.6 Mass stress curve of single degree of freedom system

3.2 多機電力系統(tǒng)及多自由度彈性系統(tǒng)

多機電力系統(tǒng)采用IEEE 4機2區(qū)模型，發(fā)電機采用二階模型。阻尼系數(shù)D=6 s，詳細參數(shù)見文獻[22]，計算過程中均已將各自額定容量下的參數(shù)折算到100 MW系統(tǒng)基準容量下。系統(tǒng)結構如圖7所示。

圖7 4機2區(qū)系統(tǒng)Fig.7 Four-machine two-area system

對圖7所示系統(tǒng)進行小干擾穩(wěn)定分析，PSASP計算結果如表1所示。該系統(tǒng)具有3個機電振蕩模式，以模式1為例，在負荷Load_1處施加正弦擾動：ΔPL1=0.05sin(6.62t)，擾動時間0～10 s，誘發(fā)系統(tǒng)產生強迫功率振蕩，振蕩結果如圖8所示。

圖8 四機兩區(qū)系統(tǒng)發(fā)電機出力曲線Fig.8 Generator active output curve of four-machine two-zone system

圖9 4機2區(qū)彈性系統(tǒng)模型Fig.9 Four-machine two-area elastic system model

圖10 四機兩區(qū)彈性系統(tǒng)質塊受力曲線Fig.10 Mass stress curve of four-machine two-zone elastic system

從表1、表3可以看出，多機系統(tǒng)電網(wǎng)振蕩模式與映射彈簧網(wǎng)振蕩模式具有一致性，二者無論振蕩頻率還是衰減阻尼比均十分接近。以模式1為例，電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)振蕩頻率均在1 Hz以上，滿足局部振蕩對應頻率1～2 Hz范圍，從圖8中可以看出，1、2號發(fā)電機組功率振蕩較大，3、4號機組功率振蕩較小，符合局部振蕩特征。圖10中，1、2號質量塊受力振蕩幅值顯著大于3、4號質量塊受力，同樣表現(xiàn)為局部振蕩特征，二者振蕩模式相對應。

表1 4機2區(qū)系統(tǒng)小干擾穩(wěn)定結果Tab.1 Result of small signal stability of four-machine two-area system

表2 彈簧網(wǎng)各支路彈性系數(shù)Tab.2 Elasticity coefficient of spring network branches

表3 4機2區(qū)彈性系統(tǒng)線性化結果Tab.3 Linearization result of four-machine two-area elastic system

以上算例表明，無論是單機無窮大系統(tǒng)與單自由度彈性系統(tǒng)，還是多機系統(tǒng)和多自由度彈性系統(tǒng)，映射后的彈性系統(tǒng)模型均能較為準確的反映原電網(wǎng)的振蕩模式。

4 結束語

周期性負荷擾動能夠誘發(fā)系統(tǒng)振蕩，機組數(shù)量增多，系統(tǒng)振蕩模式隨之增加，當負荷擾動頻率接近或等于某一系統(tǒng)固有振蕩頻率時，將會導致系統(tǒng)中某些機組產生強烈的功率波動。文中從理論上分析了電網(wǎng)與彈簧網(wǎng)之間的映射關系，提出了一種由彈簧網(wǎng)求解系統(tǒng)振蕩模態(tài)的方法，從力學角度解釋了電力系統(tǒng)中強迫功率振蕩現(xiàn)象。由于彈性系數(shù)矩陣易形成的特點，利用彈簧網(wǎng)，僅需要知道系統(tǒng)的電壓及相角即可得到由彈性系數(shù)構成的系數(shù)矩陣，從而得到關于整個系統(tǒng)的振蕩模態(tài)信息，相比用電網(wǎng)模型更加簡便實用。仿真算例進一步驗證了彈簧網(wǎng)模型與電網(wǎng)模型具有一致性。該方法為研究低頻振蕩提供了一種新的思路，具有一定的參考價值。