基于概率猶豫模糊相似度的交互式群體決策方法

華維燦，孫剛，王貴君

(1.天津師范大學數學科學學院，天津 300387；2.湖南工學院理學院，湖南 衡陽 421002)

0 引 言

在復雜客觀事物評價中，由于專家的學術經驗、能力水平和客觀考量等存在差異，決策者往往需要將多個專家的多屬性指標評價信息集成為綜合指標信息，形成群體決策。目前，針對多屬性指標信息的群體評價已有諸多理論框架和決策方法。然而，在實際問題中對專家的初始評價值僅通過一次集成難以獲得滿意的決策方案，往往需要不斷修正評價過程中的權重向量和交互，將信息集成后，才可最終獲得滿意的決策方案。

TORRA[1]基于閉區間[0，1]上多個可能的隸屬度提出了反映專家評價信息的猶豫度概念，并引入了猶豫模糊集（hesitant fuzzy set，HFS）概念。近年來，國內外學者對HFS理論及其應用開展了大量研究，并取得諸多研究成果。由于傳統模糊集僅考慮隸屬度，為同時兼顧非隸屬度對決策的影響，ZHU等[3]結合直覺模糊集（IFS）和HFS的定義引入了對偶猶豫模糊集（DHFS）。劉衛峰等[4]結合畢達哥拉斯模糊集（PFS）和HFS引入了猶豫畢達哥拉斯模糊集（HPFS），從而對HFS進行了推廣。為了更準確描述決策者的猶豫心理，XU等[5]提出了概率猶豫模糊集（probabilistic hesitant fuzzy set，PHFS）概念，在HFS基礎上增加了每個隸屬度的概率值信息，從而更細致地表現決策者對不同隸屬度的偏好[5-8]。實際上，PHFS不僅在猶豫性上增加了隸屬度數量，而且考慮了其概率，同時兼顧不同專家對隸屬度的偏好，在群體決策問題中具有廣闊應用前景。WU等[9]基于PHFS對動態突發事件應急處理問題提出了GM（1，1）模型，并給出了一種TOPSIS決策方法。梁玉英[10]、武文穎等[11]分別通過引入概率猶豫模糊信息集成算法和概率猶豫模糊加權Maclaurin幾何平均算子給出了新的群體決策方法。上述算法對進一步研究概率猶豫模糊集理論及其應用具有重要意義。

此外，交互式群體評價可通過修正專家權重最終達成群體一致的決策方案。ZENG等[12]根據專家個體評價與群體間的相似度確定專家權重，并基于直覺模糊相似度提出了交互式群體評價方法。LIAO等[13]在權重不完全的猶豫模糊環境下基于滿意度提出了一種交互式決策方法。杜鵑等[14]通過不斷修正多屬性指標的權重向量研究了交互式迭代群體決策方法，并討論了起點相等的屬性權重及其迭代過程。袁宇翔等[15]針對不確定語言變量提出了多粒度語言信息轉換函數概念及交互式多屬性群體決策方法。WANG等[16-17]基于折線模糊數的有序表示對物流運輸提出一種TOPSIS方法。本文主要目的是通過猶豫模糊數（hesitant fuzzy number，HFN）的概率化表示和相似度建立多屬性交互式群體決策方法。概率猶豫模糊數（probability hesitant fuzzy number，PHFN）通過對猶豫模糊數的每個隸屬度添加相應的概率描述模糊信息，交互式群體決策則通過引入協商機制和不斷修正評價信息達到群體偏好意見一致。因此，在PHFN環境下交互式群體決策算法更具優越性。本文在概率猶豫模糊環境下通過改進漢明距離（Hamming distance）和相似度，依據概率猶豫模糊矩陣（probability hesitant fuzzy matrix，PHFM）相似度提出了交互式群體評價方法，并用實例說明該方法的有效性。

1 概率猶豫模糊數

2 PHFN的得分函數和相似度

分別按定義9和定義10計算3組標準化PHFN的距離測度，結果如表1所示，可知，定義10更具優越性。

表1 3組標準化PHFN的距離測度對比Table 1 Comparison of distance measures of three standardized PHFN

3 交互式群體決策方法

4 實例分析

高等教育水平是衡量國家發展水平和潛能的重要標志，辦好高等教育和加快“雙一流”大學建設是事關國家發展和民族未來的戰略任務。為提升我國高等教育水平，定期對一線教師實施教學質量評價很有必要。

例如，某省教育廳聘請3名專家對所轄5所高等師范院校進行教學質量評價，設置4個屬性指標：教學態度(c1)、教學技能(c2)、教學水平(c3)和科研水平(c4)。專家集為{l1，l2，l3}，方案集為{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}，屬性集為 {c1，c2，c3，c4}，評價值用PHFN形式表示，3位專家的初始評價矩陣R（k）分別見表2～表4。

表2 專家l1的初始評價矩陣R(1)Table 2 The initial evaluation matrixR(1)given by the expertl1

表3 專家l2的初始評價矩陣R(2)Table 3 The initial evaluation matrixR(2)given by the expertl2

表4 專家l3的初始評價矩陣R(3)Table 4 The initial evaluation matrixR(3)given by the expertl3

表5 集成后群體評價矩陣RTable 5 Comprehensive evaluation matrixRafter integration

表6 修正權重后專家群體綜合評價矩陣R′Table 6 Comprehensive evaluation matrixR′of expert group after modifying weight

進一步，將本文方法與文獻[5]和文獻[10]的方法進行比較。文獻[5]是在概率猶豫模糊環境下利用猶豫概率模糊偏好關系和模糊Hausdorff距離給出的決策方法。文獻[10]是基于概率猶豫模糊Frank加權平均算子提出的多屬性群體決策方法。二者的本質區別在于采用的距離測度和相似度（相似度矩陣）公式不同，但最終均歸結為計算得分函數值，且依據得分函數值的大小對備選方案進行排序，從而得到最優方案。3種方法下5所高等師范院校教學質量Yi對應的綜合評價值（得分函數）和綜合排序見表7。

表7 3種方法下高等師范院校教學質量Yi對應的綜合評價值（得分函數）和綜合排序的比較Table 7 Comparison of the score function and comprehensive ranking obtained by three methods

由表7可知，3種方法下高等師范院校{Y1，Y2，Y3，Y4，Y5}對應的綜合評價值（得分函數）雖然不同，但綜合排序中最優方案和第二方案相同。由于3種方法的計算公式不同，造成后方案Y3，Y4，Y5的排序不同。文獻[5]和文獻[10]的方法均未考慮專家初始權重的穩定性和猶豫性。通常，專家的初始評價值僅通過一次集成難以獲得滿意的決策方案，需不斷修正權重向量并完成幾次交互集成信息方可最終獲得滿意的決策方案。本文方法克服了文獻[5]和文獻[10]的方法缺陷，所得決策方案更合理，因此綜合排序結果Y1?Y2?Y5?Y3?Y4最優，表明本文提出的交互式群體決策方法具有優勢。

5 結 論

用PHFN刻畫多屬性指標信息，從而提高綜合評價精度，PHFN不僅能體現專家評價時的猶豫心理，而且能減少專家評價信息的丟失。此外，基于PHFWA算子和PHFM相似度，給出了交互式群體決策方法。本文方法不僅將交互式群體評價方法推廣至PHFN空間，而且克服了傳統群體決策方法的部分缺陷。然而，如何根據PHFM相似度優化修正權重是下一步重點關注的問題。