探索兩個一次函數組合后的延伸問題思路

賀艷

【摘要】函數是數學發展史上經久不衰、變化無窮的一個版塊，從初中數學到高中數學，函數一直占有舉足輕重的地位.我們知道，函數的研究是以基本初等函數為基礎的，在高中數學中，會較為系統地學習指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等，而在初中數學里，由于學生的認知水平有限，一下子接受一個龐大的、系統性的知識版塊有難度，所以教材采用了“從個別到一般”的方式，即先學習幾個典型的函數模型，讓學生慢慢了解函數世界.

【關鍵詞】一次函數;函數性質;解題思路

初中數學主要研究的函數模型有一次函數、二次函數、反比例函數，其中，一次函數是初中數學的重要內容，是學生學習函數的入門模型，無論是函數的概念、作圖，還是對函數性質的認知，都是從一次函數開始的.前文說了，函數是一個變化無窮的版塊，其研究的一個重要思路，就是由基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算得到無限可能的初等函數.所以初中數學的很多考題都會以兩個一次函數為基礎，進行四則運算和復合的改變.

我們知道，對于函數f （x）與g（x），四則運算指的是加、減、乘、除，即f （x）+g（x），f （x）-g（x），f （x）·g（x），f（x）g（x）.而復合運算是高中時才學習的一種函數變化方式，指的是把f （x）看作一個整體，代入到g（x）的表達式中作為其“x”，即f [ g（x） ].假設兩個一次函數y1 = k1 x+b1 （k1，b1是常數，k1≠0），y2 = k2 x+b2 （k2，b2是常數，k2≠0），下面就上述的五種組合形式進行常見問題的分析.

1 兩個一次函數相加：y = y1+y2 = （k1+k2） x+（b1+b2）

我們發現，兩個一次函數相加后，依然是一次函數，判斷方法就是整理后的表達式是否滿足一次函數的定義——形如y = k x+b （k，b是常數，k≠0）的函數，稱為一次函數.

相加后的新一次函數的k = k1+k2，在判斷k>0還是k<0時，需要對原來兩個一次函數k1和k2的正負情況做判斷，判斷方法就是根據題目條件，例如給出圖象，根據圖象經過的象限（經過一、三象限則k>0，經過二、四象限則k<0）可以進行確定.如果k1和k2同號，那么k的符號就隨之確定了;如果k1和k2是異號，k無法確定，就必須進一步根據別的題目條件 （例如圖象的傾斜程度）進行判斷.同理，相加后的一次函數的b = b1+b2，與y軸的交點就會由b1和b2的正負情況決定，即b1和b2同號時，b>0，圖象必交于y軸正半軸;b1和b2異號時，要根據兩者的絕對值大小進行確定 （如根據y1和y2的圖象與y軸的交點位置判斷）.

2 兩個一次函數相減：y = y1-y2 = （k1-k2） x+（b1-b2）

兩個函數相減時，我們依然需要對其整理后的形式進行判斷，即能否“形如”一次函數，不難發現，這取決于k1-k2與b1-b2是否取0，故而分為四種情況：

（1）k1-k2 =0，b1-b2 =0，即k1 =k2，b1=b2時，這表示原本兩個一次函數就是同一個函數.此時相減后表達式y=0，即相減后的函數圖象就是x軸.

（2）k1-k2=0，b1-b2 ≠0，即k1=k2，b1≠b2時，這表示原本兩個一次函數圖象相互平行.此時相減后表達式y = b1-b2，這是一個常值函數，圖象是一條垂直于y軸的直線，且與y軸交點為 （0， b1-b2）.

（3）k1-k2 ≠0，b1-b2 ≠0，即k1≠k2，b1≠b2時，這與兩個函數相加情況類似，兩個一次函數相減后，依然是一次函數.但不同的是，這個一次函數的k = k1-k2，b = b1-b2，在k1與k2、b1與b2異號時可以很快確定k和b的正負，反而是同號時不好確定了，需要根據題目中的其他條件做進一步判斷.

（4）k1-k2 ≠0，b1-b2 =0，即k1≠k2，b1=b2時，這表示原本兩個一次函數圖象彼此不平行，但是與y軸的交點相同，也相交于點（0，b）.此時相減后表達式y = （k1-k2） x，這表示相減后成為一個正比例函數，k = k1-k2，情形與（3）類似，只不過圖象必過原點.

3 兩個一次函數相乘：y = y1·y2 = （k1 x+b1）· （k2 x+b2）

兩個一次函數相乘，發生了非常有趣的變化，它成為了初中數學中另一個非常重要的函數模型——二次函數！不難發現，y = （k1 x+b1）·（k2 x+b2）就是二次函數表達形式中的兩點式，展開后，我們就可以得到這個二次函數表達式的一般式：

y =k1k2x2+ （k1b2+k2b1）x+b1b2

類比于二次函數一般式的標準形式：Y=Ax2+Bx+C（A≠0），我們得到A =k1k2，b=k1b2+k2b1，c=b1b2.我們由二次函數的相關知識可以作出一系列判斷：

（1）由一般式中二次項系數k1 k2的正負確定函數圖象的開口方向;

（2）由一般式中的常數項可知，圖象必經過點 （0， b1b2），即與y軸的交點位置;

（3）由兩點式可知，求二次函數與x軸的交點，即令k1 x+b1 =0和k2x+b2=0，也就是說，原來兩個一次函數圖象與x軸的交點位置，就是相乘后的二次函數圖象與x軸的交點位置.這是非常奇妙的一個相通之處，也就是說，通過一次函數圖象的交點位置，就可以迅速知道二次函數圖象與x軸的兩個交點在哪里，正負情況如何，那么根據兩個交點的對稱關系，就能夠判斷出對稱軸所在位置;也可以根據韋達定理，知道二次函數的a、b、c的正負關系.

此外，關于二次函數的頂點坐標、最值等性質，因涉及到k1、k2、b1、b2的表達式非常復雜，難以判斷，這里就不作詳述了.

因為二次函數也是初中數學的重點考察內容，所以這種奇妙而有趣的變化，常常作為考題出現，例如：

例1 已知一次函數y1 = k1 x+b1（k1，b1是常數，k1≠0），y2 = k2 x+b2（k2，b2是常數，k2≠0）的圖象如圖所示，則函數y = y1·y2的圖象可能是（）

解析 由一次函數圖象經過的象限可知，k1<0，k2>0，所以k1 k2<0，二次函數圖象開口應向下，排除A選項;再由一次函數圖象與y軸交點的位置可知，b1>b2>1，所以b1 b2>1，二次函數圖象與y軸的交點應在（0，1）的上方，排除D選項;最后由兩個一次函數圖象與x軸的交點分別是（1， 0）和（-2， 0），確定二次函數與x軸的交點也是這兩個位置，從而鎖定正確答案C選項.

4 兩個一次函數相除：y=y1y2=k1x+b1k2x+b2，y2≠0

我們發現，y1 = 0時，y = 0，所以相除后的函數圖象與x軸的交點與y1圖象與x軸的交點是相同的.但由于分母不為0，即y2≠0，所以此時嚴格意義上來說y2已經不是一個完整的一次函數（摳除了x軸上的那個點）.如果進一步整理，可以得到y=k2b1-k1b2k2k2x+b2+k1k2，我們發現表達式中只有一個分母中出現x，其他都是常數，所以該函數是反比例函數基礎上的一種變化形式，這里涉及到平移變化和伸縮變化，不是初中數學討論的重點，這里就不作延伸了.

5 兩個一次函數復合：y = k2（k1x+b1）+b2=k1k2·x+ （b1k2+b2）

我們發現，兩個一次函數復合后，依然是一次函數，這個一次函數的k = k1k2，那么只要知道k1和k2的正負情況，無論同號異號，都可以確定k>0還是k<0.而復合后的函數b = b1k2+b2，就要根據幾個字母各自的正負情況、大小關系去綜合判斷了.

除了上述的五種常規組合外，還有一些人為定義的組合形式，即所謂的“新定義”題型，需要學生分析題目含義，靈活運用所學知識進行解答.

例2 若兩個一次函數y= k1x+b1（k1≠0），y=k2x+b2（k2≠0），則稱函數

y=（k1+k2）x+b1b2為這兩個函數的組合函數.

（1）一次函數y=3x+2與y=-4x+3的組合函數為;若一次函數y=ax-2，y=-x+b的組合函數為y=3x+2，則a =，b=;

（2）已知一次函數y=-x+b與y=kx-3的組合函數的圖象經過第一、二、四象限，求常數k、b滿足的條件;

（3）已知一次函數y=-2x+m與y=3mx-6，它們的組合函數一定經過的定點坐標是.

解析 首先明確本題定義的組合函數形式，發現組合函數依然是一次函數，其k =k1+k2，b=b1b2，確定k和b后就可用一次函數的相關知識去解答.

（1）k=3+（-4）=-1，b=2×3=6，

所以組合函數為y=-x+6;同理，第二組函數的組合函數的k=a+（-1）=a-1，b=（-2）×b=-2b，

所以組合函數應為y=（a-1） x-2b，根據題目給的組合函數y=3x+2，把常數值對應起來，

就可得到a-1=3，-2b=2，

進而求出a=4，b=-1;

（2）同上，可得組合函數為y=（k-1）x-3b，由于圖象經過第一、二、四象限，由一次函數知識可得，k-1<0，-3b>0，解不等式得k<1，b<0.

這里還有一個小陷阱，就是k≠0，這是一次函數天生自帶的屬性，學生很容易遺忘，往往會撿了西瓜，但丟了芝麻.

所以正確答案應是：k<1且k≠0，b<0;

（3）同樣先得到組合函數表達式y=（3m-2）x-6m，要求不論何值，一定經過定點.

定點問題一直是初中數學的一個難點，在這里關鍵的一句話是“不論何值”，要先搞清楚不論誰的值.這里是指不論m取何值，x和y都能取到固定的值（即過定點）.

如何讓m取任意值都不影響x和y呢？那就得把m從表達式中“滅掉”，即讓m的系數為0！這是求定點、定值問題常用的思路.

所以我們把含有m的項進行合并同類項，整理得：

y=（3x-6）m-2x，再令3x-6=0，即x=2，

代入求得y=-4，即過定點（2， -4）.

通過上述分析，我們可以真切地感受到函數的變化無窮，靈活多樣，而每一種“變”的背后，又有其不變的規則、規律、結論，學習函數版塊就要有這種以不變應萬變的思維，打開思路，抓住核心知識，才能輕松駕馭.