利用勾股定理求幾何體表面兩點之間的最短距離

魏建輝

【摘要】在勾股定理的運用中有一類題型，那就是利用勾股定理求幾何體表面兩點之間的最短距離，常見的幾何體有圓柱體（有蓋或無蓋）和長方體（或正方體）等.如何解決這一類問題呢？下面結合幾道例題對它的步驟進行說明.

【關鍵詞】勾股定理;平面幾何;解題思路

例1 在底面周長為8cm、高為5cm的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從點A至點C按如圖1所示的圈數纏繞，則絲帶的最短長度為cm.

解 由圖1可以得到，絲帶從A開始纏繞到C結束，一共纏繞了1.5圈.把該圓柱側面裁剪并展開得到圖2，按照“兩點之間，線段最短”可以得到絲帶纏繞的路線其實就是線段AC，即AC的長度就是絲帶的長度.

如圖2所示，在Rt△AEC中，∠E=90°，

AE=1.5×8=12cm，而CE=5cm，由勾股定理可得：AE2+CE2=AC2.

所以，AC2=122+52=169，因為AC>0，所以AC=13cm.

評析 本題中需注意的是，絲帶在圓柱體側面一共纏繞了1.5圈，而不是2圈或3圈.所以，AE的長是圓柱底面周長的1.5倍.

例2 如圖3所示，有一塊長方體磚塊，它的長是6cm、寬是4cm、高是3cm.在A處有一只閑著的螞蟻，B處是一滴蜂蜜，螞蟻沿著磚塊表面爬行準備去吃蜂蜜，那么它爬行種最短路程的平方是.

解 觀察圖3不難看出，這只螞蟻如果從A爬到B，至少需要爬過兩個面，所以這里應該有三種不同的情況.先將每種情況的兩個面展開在同一個平面中，然后借助“兩點之間，線段最短”可以得到每種情況中的最短路線，并通過勾股定理計算出AB的長，最后對這幾種情況的AB線段長進行對比得到這只螞蟻所爬行的最短路線.這三種情況分別如圖4中（1）、（2）、（3）所示.

（1）將前面和上面展開如圖4（1）所示，此時構造的直角三角形的兩直角邊分別為4cm和9cm，所以AB2=42+92=97;

（2）將左面和上面展開如圖4（2）所示，此時構造的直角三角形的兩直角邊分別為6cm和7cm，所以AB2=62+72=85;

（3）將前面和右面展開如圖4（3）所示，此時構造的直角三角形的兩直角邊分別為10cm和3cm，所以AB2=102+32=109.

評析 該類問題通常有三種不同的展開方法，但是只有一種是最短路線.最短路線的選擇方法，只需看哪個直角三角形的兩直角邊的差的絕對值最小.由此可得本題圖（2）應是最短路線.

例3 圖5是一個樓梯的一部分，共三級.這個樓梯的每一級臺階的長、寬、高都分別是20分米、3分米、2分米.在這個樓梯的一端A處有一只螞蟻，B端是食物，螞蟻沿著臺階表面去吃食物的最短路程是分米.

解析 這個臺階一共三級，要求螞蟻爬的最短路程，需要先將三級臺階展開成平面圖形，如圖6所示，就得到一個長為20分米、寬為15分米的長方形.然后，將A和B兩點連接起來，就根據“兩點之間，線段最短”得到了螞蟻爬行最短路程的最短路線AB.接著將AB放入一個直角三角形中，利用勾股定理計算出AB的長，即AB2=202+152，因為AB>0，所以AB=25分米，即螞蟻沿著臺階面爬到B點最短的路程是25分米.

評析 利用勾股定理求幾何體表面兩點之間的最短距離，首先將圓柱的側面展開，然后確定相應點的位置，接著連接相應點，構造直角三角形，最后利用勾股定理求解.如果是正方體或其他的圖形，也是如此先展開，然后構造直角三角形用勾股定理求解.

例4 如圖7所示，有一個無蓋的圓柱形玻璃杯，杯高14cm，底面周長約為32cm.

在玻璃杯內壁B處有一滴蜂蜜，且蜂蜜距離杯底5cm.在玻璃杯外壁A處有一只饑餓的螞蟻，且它距離杯口僅3cm.如果螞蟻聞到了蜂蜜，并準備沿著杯子去吃蜂蜜.那么螞蟻行進的最短距離為cm（杯壁厚度不計）.

解 如圖8所示，作A點關于直線GF的對稱點E，并連接BE，那么BE就是螞蟻爬行的最短路徑.

過B點作AE與BC互相垂直，垂足為C，那么△ECB為直角三角形.

在Rt△ECB中，BC=12GF=12×32=16（cm），CE=14+3-5=12（cm）.根據勾股定理可列式：EB2=EC2+BC2.

代入相關數值，解得BE=20（cm）.

評析 本題和前三道題既有相似之處，又有不同之處，解決這道題要用到三個技巧：首先，把立體圖展開;其次，借助軸對稱轉化為兩點之間線段最短的問題;最后，構造直角三角形用勾股定理列方程.

例5 如圖9所示，一根枯木上纏繞著一圈又一圈的葛藤.現在知道枯木的高是20尺，腰粗3尺，且葛藤一共繞了5圈.假如把枯木近似的看成一個圓柱，且枯木每個部分的粗細相同.求葛藤的長度.

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解 將圓柱體側面展開后如圖10所示，這時易得一條直角邊（即枯木的高）長20尺，另一條直角邊長5×3=15（尺），由勾股定理可得AB2=202+152，因此葛藤長AB=25（尺）.

評析 本題仍然是勾股定理問題，但是在考查時與前面四題稍有不同，因為所繞圈數之多，學生可能難以把握.這時，需要先弄清繞了幾圈，然后轉化成相應的平面展開圖.