基于最大超體提升期望的代理模型多目標(biāo)優(yōu)化補(bǔ)充采樣策略研究

呂 達(dá) 趙永才 張?jiān)隼?時(shí)瑞超 趙 燈

(武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所,湖北 武漢 430205)

對(duì)于工程實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化通常需要進(jìn)行試驗(yàn)或仿真計(jì)算,周期較長(zhǎng)[1-5]。代理模型可以建立設(shè)計(jì)參數(shù)輸入和輸出之間的關(guān)系,有效減少設(shè)計(jì)過(guò)程中復(fù)雜仿真計(jì)算。初始代理模型建立后,再通過(guò)補(bǔ)充采樣,可以提高代理模型精度。對(duì)于克里金代理模型[6],常見(jiàn)的補(bǔ)充采樣策略有：隨機(jī)補(bǔ)充采樣、最優(yōu)值處補(bǔ)充采樣、在代理模型置信度最低處補(bǔ)充采樣和混合補(bǔ)充采樣等[7-9]。

本文將針對(duì)單目標(biāo)問(wèn)題的最大提升期望策略推廣至多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,提出了基于最大超體提升期望補(bǔ)充采樣策略。算例測(cè)試表明,新提出的采樣策略可以提高代理模型多目標(biāo)優(yōu)化收斂效率,相對(duì)于傳統(tǒng)采樣策略具有一定優(yōu)勢(shì)。

1 代理模型優(yōu)化問(wèn)題描述

綜合以上各式可知,克里金模型主要包括權(quán)重矩陣θ 和回歸函數(shù)β。本文使用MATLAB DACE 工具箱構(gòu)造代理模型,該工具箱求解矩陣θ 采用迭代法,保證最終給出的預(yù)測(cè)值為無(wú)偏估計(jì)。

根據(jù)上式,在克里金模型中,影響預(yù)測(cè)誤差的重要因素是預(yù)測(cè)點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的相關(guān)向量,當(dāng)預(yù)測(cè)點(diǎn)距所有已知點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí),預(yù)測(cè)不確定性較大,反之則越小。

2 多目標(biāo)優(yōu)化補(bǔ)充采樣策略

通過(guò)不斷補(bǔ)充加點(diǎn),可以使代理模型地精度逐漸提高。因此,加點(diǎn)策略直接決定了優(yōu)化過(guò)程的走向[10,11]。克里金模型在預(yù)測(cè)采樣空間中采樣點(diǎn)的樣本值的同時(shí)給出該采樣點(diǎn)處的方差,基于這一特點(diǎn),文獻(xiàn)[12]最早提出和采用了一種基于最大提升期望的補(bǔ)點(diǎn)(MAXEI)策略。

多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)解形式為帕雷托前沿,引入超體體積的概念,超體體積是指帕雷托前沿與參考點(diǎn)構(gòu)成的封閉空間體積。相鄰兩次迭代之間超體體積之比可以作為優(yōu)化過(guò)程的收斂判據(jù)：

圖1 展示了4 個(gè)帕雷托前沿點(diǎn)構(gòu)成的超體,引入超體貢獻(xiàn)的概念：

圖1 帕雷托前沿點(diǎn)構(gòu)成的超體

超體貢獻(xiàn)(HVC)：對(duì)于一個(gè)已知的帕雷托解集PF={P∈PF|Pi=(Oi1,Oi2, …, OiN)}對(duì)應(yīng)的超體記為HV(PF),除去某一點(diǎn)Pi后的點(diǎn)集記為PF*= PF - Pi,此時(shí)PF*中的任意前沿點(diǎn)依然為非支配解,這些非支配解構(gòu)成的超體記為HV*= HV(PF*),則Pi對(duì)超體的貢獻(xiàn)為：

Step1：設(shè)P 為代理模型預(yù)測(cè)得到,坐標(biāo)為(xp, yp),首先判斷點(diǎn)(xp, yp)是否為非支配點(diǎn)。將受P 支配的N 個(gè)前沿點(diǎn)記為Psub1,…,PsubN,如圖3 所示。

圖2 基于代理模型的預(yù)測(cè)點(diǎn)的超體貢獻(xiàn)值

Step2：按照一定順序?qū)υO(shè)計(jì)空間切片,若按圖3 所示的切片方式,則獨(dú)立支配空間的超體體積f(PF,x,y)可以根據(jù)所屬切片區(qū)域不同表示為如下形式：

圖3 空間點(diǎn)P 獨(dú)立支配區(qū)域切片劃分

基于上述切片法,采用遺傳算法以HVEI 為適應(yīng)度,求出HVEI 最大處的點(diǎn)(MAXHVEI),該點(diǎn)即為補(bǔ)充采樣點(diǎn)。

3 補(bǔ)充采樣策略對(duì)比驗(yàn)證

采用ZTD 系列測(cè)試函數(shù)[13]對(duì)MAXHVEI 方法驗(yàn)證,并與與其他兩種補(bǔ)充采樣方法比較：

方法一：隨機(jī)采樣(RAND),在設(shè)計(jì)空間內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)作為補(bǔ)充樣本點(diǎn)。

方法二：基于方差最大和基于當(dāng)前最優(yōu)超體提升采樣,每次補(bǔ)充采樣兩個(gè)樣本點(diǎn),記為HS(Hybrid Sampling)方法。

迭代終止時(shí),統(tǒng)計(jì)MAXHVEI 方法、RAND 和HS 方法所用的加點(diǎn)個(gè)數(shù),如表1 所示。

表1 三種補(bǔ)充采樣策略加點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)比

4 結(jié)論

本文介紹了一種基于最大超體提升期望的代理模型多目標(biāo)優(yōu)化補(bǔ)充采樣方法。以適用于單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最大提升期望補(bǔ)充采樣方法為基礎(chǔ),將其思想應(yīng)用于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題,針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中面臨的超體體積提升期望求解問(wèn)題,提出了一種切片方法,并通過(guò)編程求得數(shù)值解。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)算例驗(yàn)證表明,在不同條件下,與傳統(tǒng)的RAND 和HS 補(bǔ)充采樣策略相比,本文MAXHVEI 方法所需加點(diǎn)次數(shù)分別減少37%～78%和35%～50%不等。應(yīng)用于涉及多目標(biāo)優(yōu)化的工程實(shí)際問(wèn)題時(shí),可以有效縮短設(shè)計(jì)周期。