基于邊長漸變多邊形平面螺旋電感的數學模型分析

劉勇 邱宇

(1、中國電子科技集團公司第三十八研究所,安徽 合肥 230088 2、安徽省天線與微波工程實驗室,安徽 合肥 230088)

1 概述

在當今世界,隨著全球信息化、網絡化和智能化的飛速發展,集成電路產業在國民經濟中的地位越來越重要,它以其無窮的變革、創新和極強的滲透力,推動著軍用裝備、移動通信、智能終端等產業的發展進程[1-3]。

電感是集成電路中的基本元件之一。由于集成度要求及工藝限制,集成電路中的電感通常設計為平面螺旋結構[4-5]。平面螺旋電感通過后道工藝與集成電路制作在同一塊襯底上形成IC 芯片,如硅CMOS 芯片[6]、砷化鎵MMIC 芯片[7]。也可以在低損耗襯底上制作成嵌入式器件,形成功能化襯底,進一步進行系統封裝,如集成無源器件技術(IPD)技術[8-9]。值得一提,低溫共燒陶瓷(LTCC)技術[10]也可以制作平面螺旋電感。平面螺旋電感有兩個端口,采用垂直過渡、絕緣層隔離技術,可將兩個端口分別引出與外部電路相連。

此前大多數研究者均旨在優化平面螺旋電感結構對電感性能的影響,并未涉及到平面螺旋電感的數學模型分析；此外,在現有版圖設計軟件中,一些電感模型并不能完全滿足設計需要,且一般是四邊形和八邊形,品種相對單一；三維電磁仿真中,往往沒有電感模型,需要自行設計平面螺旋電感,因此本文結合任意多變形的邊長漸變多邊形平面螺旋電感模型推導出精確的數學關系,為后續平面螺旋電感模型的設計提供一定的參考意義。

2 數學模型分析

首先生成螺旋電感的中心線結構,通過對各段中心線分別向兩邊垂直平移W/2 距離,生成線寬為W 的螺旋線圈。圖2 為邊長漸變多邊形平面螺旋電感中心線結構的示意圖,頂點0 和頂點1 連線構成初始線段[0,1],以此類推,即頂點k-1 和頂點k 連線構成線段[k-1,k],k是≥0 的整數。線段[k-1,k]的長度由lk表示。邊長漸變量為δ,則lk+1-lk=δ。當n 確定后,由于線段[k-1,k]與線段[k,k+1] 所夾內角為固定值θ,因此繞線一周后線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,其中k=n+1。令線段[k-1,k]與線段[0,1]間距為P。令線段[0,1]呈水平方向,以頂點1 作為原點,建立直角坐標系,水平方向為x 軸,垂直方向為y軸。頂點k 在x 軸上坐標值為kx,在y 軸上坐標值為ky。由于線段[k-1,k]與線段[0,1]平行,則頂點k 的y 軸坐標值ky 即為P 值。

圖2 邊長漸變平面螺旋電感中心線結構示意圖

計算P 值,可以通過計算ky 值來實現。圖3 展示邊長為常數l0的平面螺旋電感中心線結構示意圖,圖2 中線段[1,2]與x 軸構成的內角-2π/n,線段[2,3]與x 軸構成的內角為-4π/n,并顯然有線段[k,k+1]與x 軸構成的內角為-i*2π/n；那么同理圖3 中,線段[k’,k’+1] 與x軸構成的內角也為-i*2π/n。

圖3 邊長為常數l0 的平面螺旋電感中心線結構示意圖

從圖中可以看出頂點k 與頂點k’的坐標偏差均由于邊長漸變量δ 的出現。進一步分析,線段[1,2]及線段[1’,2’]與x 軸內夾角均為-2π/n,結合三角函數定義,則此段位移在x 方向產生了δ*cos(-2π/n)增量,在y 方向上產生了δ*sin(-2π/n)增量。同理線段[2,3]及線段[2’,3’] 與x 軸內夾角均為-2*2π/n,位移在x 方向產生了2δ*cos (-2*2π/n) 增量,在y 方向上產生了2δ*sin(-2*2π/n)增量。

當繞周一圈后,在x 方向產生了累加增量

由上述推導可知P 值只與n、δ 有關,與初始邊長無關。那么從頂點2 出發繞線一圈到達頂點k+1,亦有[k,k+1]與線段[1,2]平行且間距為P,以此類推。至此,證明得到邊長漸變多邊形平面螺旋電感的相鄰線圈中心線間距為固定值P。結合圖1 及圖2,有P= W+S,當取固定值W 時,S 也為固定值。

圖1 任意n 多邊形的邊長漸變平面螺旋電感模型的結構俯視圖

3 幾何解析方法

當n 的基數特別大時,利用公式(1)和(2)去計算kx與ky 值變得異常繁瑣,顯然需要更進一步的簡化。針對公式(1)和(2)固然可以通過數學公式推導進一步計算出kx 與ky。但為了直觀易懂,本文利用幾何解析的方法進行簡化kx 與ky 值。如圖2 所示,過頂點1 向線段[k-1,k]做垂線交于M 點,過頂點1 向線段[k,k+1] 做垂線交于N 點；過頂點2 向線段[k,k+1] 做垂線交與Q 點。由公式(1)和(2)可知,n、δ 確定后,kx 與ky 值均是固定值,與初始線段長度無關。則有線段[M,k]與線段[Q,k+1]的長度值均為kx。

由于線段[1,M]與線段[1,N]長度相等,均為P,即ky。容易得出由點1、點M、點k 構成的△1Mk 與由點1、點N、點k 構成的△1Nk 對稱全等。線段[N,k]長度等于線段[M,k] 長度,長度值為kx；且α 角與β 角相等,即α=β=θ/2?！?Mk 中,有ky=kx*tanα= kx*tanθ/2=kx*ctan(π/n)。

比較線段[k,k+1]與線段[1,2],兩者長度差為線段[k,N]與線段[Q,k+1]的長度和,即2kx；又因為本發明采用的是邊長漸變繞線方法,線段[k+1,k+2]與線段[1,2]長度差為nδ。因而有2kx=nδ。

4 數學附加結論

本文已然利用解析方法從側面證明出等式(8)和(9)的成立,感興趣的讀者也可以試著從正面進行推導。

5 應用與分析

根據公式(7)可知在線寬W、線圈間距S 確定后,多邊形邊數n 與邊長漸變量δ 值成反比,即平面螺旋電感的邊數越多,則需要相應地減小邊長漸變量。此外,還可以利用公式(3)和公式(7)對平面螺旋電感進行多圈數的延伸設計。例如,按照所述方法生成W=10μm、S=10μm的邊長漸變八邊形平面螺旋電感(n=8)。令模型初始邊長l0=50μm,電感線圈為2 圈。由公式(7)可知,δ=2.07μm。生成的邊長漸變八邊形平面螺旋電感如圖4 所示,線寬W=10μm、線圈間距S=10μm；初始邊長l0=50μm、邊長漸變量δ=2.07μm、末端邊長為83.12μm。初始邊長及末端邊長可進行修改,以滿足版圖設計中的電感端口位置。本實施案例中,修改初始邊長至34μm,修改末端邊長至48μm。

圖4 一種邊長漸變八邊形平面螺旋電感模型

結束語

本文在利用任意多邊形的邊長漸變平面螺旋電感的結構模型下分析出多邊形邊數、線寬、線圈間距以及邊長漸變量之間的數學關系,并對其進行簡化,解決了現有版圖設計軟件品種相對單一的問題,結構變量參數設置簡單。此外還利用數學關系設計了一種邊長漸變八邊形平面螺旋電感的結構,對初始邊長及末端邊長進行適當修改,滿足實際產品中平面螺旋電感的版圖設計。通過此方法可以制作相應的寬帶電感,為光調制器作為扼流電感等用途。隨著集成電路向小型化和多尺度發展,本文可以為平面螺旋電感向三維方向進行發展提供一定的解決思路。