數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學中的應(yīng)用

王繼輝

【摘 要】 數(shù)形結(jié)合是指數(shù)學問題已知中代數(shù)條件較為抽象或者圖形信息不夠精確難以解題，采用數(shù)與形相結(jié)合的思想對已知條件進行深度挖掘與升華，抓住數(shù)與形之間的本質(zhì)聯(lián)系，進一步找準數(shù)學解題關(guān)鍵，實現(xiàn)高效解題.本文將以實際數(shù)學問題為例，通過演示詳細的解題過程，闡述數(shù)形結(jié)合思維方法在集合、函數(shù)、不等式以及幾何等問題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;思維方法;數(shù)學解題

1 數(shù)形結(jié)合在集合解題中的應(yīng)用

例1 如圖1所示是表示集合關(guān)系的韋恩圖.已知全集U，集合A={-2，-1，0，1，2}和集合B={x|-2≤x≤0}，則圖中陰影部分可以表示為（? ）

A.{1，2} ??????B.{0，1，2}

C.{-2，1，2} D.{-2，0，1，2}

分析 結(jié)合集合元素定義與韋恩圖特征，易知圖中陰影部分表示除去與集合B共有的元素之外集合A剩下的元素，即A∩CUB的值.

解 全集為U，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-2≤x≤0}，則圖中陰影部分表示的元素為A∩CUB={1，2}，所以由韋恩圖可知圖中陰影部分表示為{1，2}，A選項符合題意.

2 數(shù)形結(jié)合在函數(shù)解題中的應(yīng)用

例2 如圖2所示是關(guān)于x的二次函數(shù)一部分圖像，已知該函數(shù)圖像通過點A（-3，0）函數(shù)圖像的對稱軸為x=-1.判斷以下四個結(jié)論正確的有?? .

①b2>4a;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

分析 根據(jù)一元二次函數(shù)圖像性質(zhì)，開口方向反應(yīng)a的正負，再依據(jù)圖像對稱軸的橫坐標位置可以判斷b值的正負，再依據(jù)題目所給已知條件點A的坐標值即可進一步判斷c值.

解 已知關(guān)于x的二次函數(shù)圖像通過點A（-3，0），此函數(shù)圖像的對稱軸為x=-1，函數(shù)圖像開口向下，由此可判斷a<0，又b2a=1，所以b=2a，所以b2=4a2>4a成立，結(jié)論①正確;2a-b=2a-2a=0，結(jié)論②錯誤;b=2a>5a，結(jié)論④正確;將點A（-3，0）坐標值代入函數(shù)代數(shù)式y(tǒng)=ax2+bx+c中，得9a-3b+c=0，所以有3a+c=0，c=-3a，則a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，結(jié)論③錯誤.

注 函數(shù)章節(jié)所包含內(nèi)容較為豐富，函數(shù)表達式及未知數(shù)關(guān)系等知識點相對較為抽象.教師在教學過程中要充分利用函數(shù)圖像性質(zhì)，引導學生掌握函數(shù)圖像的特征及其與函數(shù)表達式本身、未知數(shù)之間的數(shù)值關(guān)系之間的聯(lián)系.

3 數(shù)形結(jié)合在不等式解題中的應(yīng)用

例3 若已知（12）x1=（2）x2=（13）x3=（3）x4=32，求x1、x2、x3、x4的大小關(guān)系為（? ）

A.x2>x4>x3>x1

B.x2>x4>x1>x3

C.x4>x2>x3>x1

D.x4>x2>x1>x3

分析 本題解題核心是依據(jù)函數(shù)值大小判斷函數(shù)代數(shù)式中未知數(shù)的大小關(guān)系.觀察題目已知條件發(fā)現(xiàn)，題目中所涉及的函數(shù)均為指數(shù)函數(shù)，由此本題的解題核心是在指數(shù)函數(shù)圖形特征的基礎(chǔ)上判斷相關(guān)位置上的數(shù)值大小.

解 分別將函數(shù)C1∶y=（12）x、C2∶y=（13）x、C3∶y=（3）x、C4∶y=（2）x以及y=32的函數(shù)圖形畫在同一個直角坐標系中，如下圖3所示

直線y=32與四個指數(shù)函數(shù)圖像的交點橫坐標分別對應(yīng)值x2、x4、x3、x1，依據(jù)圖形易判斷四者大小關(guān)系為x2>x4>x3>x1，A選項符合題意.

注 ?數(shù)形結(jié)合思維方法在不等式解題中的應(yīng)用，可以通過函數(shù)圖形、集合圖形與代數(shù)值之間的轉(zhuǎn)化，將不等式關(guān)系體現(xiàn)得更為直觀、明了，在一定程度上能夠減小解題計算量，提高解題速度與準確率.

4 數(shù)形結(jié)合在幾何解題中的應(yīng)用

例4 ?已知空間幾何體ABCD-A1B1C1D1的形狀如圖4所示，連接此幾何體表面的某兩點，得到空間直線.將該幾何體沿著得到的直線旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為α（0°<α<360°），得到的幾何體與原幾何體重合，則稱此直線為該幾何體的旋轉(zhuǎn)軸.則正方體的旋轉(zhuǎn)軸有（? ）條.

A.7? B.9? C.13? D.14

分析 根據(jù)題目所給出的幾何體對稱軸定義，結(jié)合題目所畫的正方體示意圖討論正方體的對稱軸個數(shù).此題屬于簡單題，但需要注意的是情況較多，容易混淆和遺漏，是個易錯題，而在解答此題目是需要注意的是分情況討論，將所有情況考慮全面.

解 結(jié)合題中所給正方體ABCD-A1B1C1D1示意圖5，由幾何體對稱軸的定義，將從以下三大類進行討論：

（1）連接正方體兩個對立面的中心，得到連線如上圖4EF所示，正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn)，最小旋轉(zhuǎn)90°即可與自身重合.由于正方體對立面有三組，故此類情況下共有3條直線;

（2）連接正方體對角的兩點，得到正方體體對角線如下圖6BD1所示，正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn)，最小旋轉(zhuǎn)120°即可與自身重合.由于正方體體對角線共有4條，故此類情況下共有4條直線;

（3）連接正方體對棱的中點，得到正方體體對棱中線如下圖6MN所示，正方體圍繞此直線旋轉(zhuǎn)，最小旋轉(zhuǎn)180°即可與自身重合.由于正方體中相對應(yīng)的棱線共有6組，故此類情況下共有6條直線;

綜上，正方體體對稱軸共有3+4+6=13條，C選項符合題意.

注 在處理立體幾何問題過程中，由于空間立體幾何對學生的空間想象思維較強，單純依靠圖形解題難度較大，為突破空間立體幾何教學難關(guān)，可以將空間幾何圖形與代數(shù)數(shù)值相結(jié)合，使圖形描述更加精準，圖形中的數(shù)學條件更加清晰.