一題多解提升學生的數學運算素養

謝潔丹 韋才敏

【摘 要】 解析幾何是高考的一個必考內容，其中三角形的面積問題是解析幾何的一個重要方面，學生在解題時往往采取常規的解題方法，但往往計算量大，沒有一定的運算技巧甚至難于解答.教師可通過一題多解，幫助學生從不同角度切入，通過優化計算方案和滲透運算技巧，提升學生的數學運算素養.

【關鍵詞】 一題多解;運算技巧;運算素養

1 例題引入

例題 如圖1，過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線l作垂線，垂足分別為M1、N1 記△FMM1、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、S2、S3，試判斷S22=4S1S3是否成立，并證明你的結 論.

2 例題思路分析

2.1 利用圖形表象特征，常規思路分析

這是一個拋物線中關于三角形面積的證明問題，解決問題的關鍵在于：如何求出S1、S2、S3的表達式.于是，我提出問題：如何求解三角形的面積？學生們會不約而同地回答出以下兩個公式：SΔ=12×底×高=12absinC.我再次提出問題：通過觀察圖2，你們會選擇哪個公式來求解？學生們異口同聲：SΔ=12×底×高.因為我們只要設準線l與x軸的交點為F1，即可得到S2=12M1N1FF1，而S1=12MM1F1M1，S3=12|MN1||F1N1|，于是我順著學生的思路，那么這里面各線段長度，應該如何表示呢？不難發現，我們只要假設M（x1，y1），N（x2，y2），便可得到以下三個表達式：

S1=12·|MM1|·|F1M1|=12（x1+p2）|y1|，

S2=12·|M1N1|·|FF1|=12p|y1-y2|，

S3=12·|NN1|·|F1N1|=12（x2+p2）|y2|，

所以S22=14p2（y21-2y1y2+y22），S1S3=14（x1x2+p2（x1+x2）+p24）y1y2.

到了這里，學生們幾乎都想到了韋達定理，通過聯立直線MN的方程和拋物線方程消元.于是，考慮到直線經過F（p2，0），可設斜率為k，得到直線MN的方程為y=k（x-p2），由y=k（x-p2）y2=2px消去y得到：k2x2-p（k2+2）x+k2p24=0，

所以x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24.

結果中顯然還有y21+y22，y1y2的值需要表示，怎么辦呢？可否轉化為x1+x2，x1x2來表示？如何表示？一連串的疑問，學生能夠聯系到利用①y1=k（x1-p2）y2=k（x2-p2），或者利用②y21=4px1y22=4px2應該可以解決問題，那么選擇①還是②呢？求解成為了擺在學生面前的兩條不同的路，于是，我將學生分成兩組，讓他們分別用①、②來完成這個問題.

結果發現選擇①的同學在計算y21+y22=k2（x21+x22）-pk（x1+x2）+p2k22時，表達式有點繁瑣，他們幾乎有點想要放棄了，我及時提醒他們考慮回到原來y1-y22形式，很多學生馬上恢復了活力，得到了：y1-y22=k2（x1-x2）2=k2（x1+x2）2-4x1x2，而y1y2=

k2（x1x2-p2（x1+x2）+p24）

最后我們將x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24代入到S1、S2、S3中，可得S22=4S1S3.

我們再回過頭來，看看選擇②的同學，比起選擇①的同學，他們很快得到y21+y22=2p（x1+x2），y21y22=4p2x1x2，考慮到直線MN過焦點，故y1，y2異號，所以y1y2=-2px1x2，代入即可整理出S22=4S1S3.

2.2 發掘圖形內在特征，非常規解題思路的分析

解析幾何中，我們強調數形結合，也強調回歸定義.我引導學生：如果這個例題我們回到拋物線的定義中來，可以得到什么結論？學生們馬上注意到焦點弦MF，NF，且有MF=MM1，NF=NN1，那么我們可以得到ΔM1MF，ΔN1NF為等腰三角形，此時我拋出問題：利用MM1//FF//1NN1，能夠得到ΔM1FN1是否為特殊的三角形？

學生通過利用平行線的性質，得到了∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=1800即所以∠F1FM1+∠F1FN1=900故FM1⊥FN1

所以ΔM1FN1為直角三角形.

利用圖形特征，我引導學生得到了三角形ΔM1MF，ΔN1NF，ΔM1FN1為特殊的三角形，那么，如何引入恰當的參數，結合公式SΔ=12absinC來表示他們的面積呢？首先要明確的是，該公式須知三角形的兩條邊和它們的夾角，那么對于三角形ΔM1MF，ΔN1NF，為了減少變量，我們可以引入哪些參數呢？

學生們馬上想到了MF=MM1，NF=NN1，而夾角∠M1MF和∠N1NF滿足∠M1MF+∠N1NF=π，為了書寫得方便，他們設MF=r1，NF=r2∠M1MF=α，

則∠N1NF=π-α于是S1=12r21sinα，S3=12r22sin（π-α）=12r22sinα借助了變量r1，r2，α學生們得到了S1，S3.

而對于S2，有些同學感覺到有點棘手，似乎想回到我們（一）中的常規方法中來，如果是這樣的話，問題就會變得復雜了，我及時引導學生，應該利用引入的r1，r2，α來表示S2，這個時候，估計學生們可能還會茫然，于是我再加強條件：ΔM1FN1為直角三角形，是否可以考慮S△M1FN1=12|M1F|·|N1F|？學生恍然大悟，想到了余弦定理來表示M1F，N1F，得到了：

|FM1|2=2r21-2r21cosα=2r21（1-cosα），|FN1|2=2r22+2r22cosα=2r22（1+cosα），

所以S22=14|FM1|2·|FN1|2=14·4r21·r22·（1-cosα）（1+cosα）=r21r22sin2α=4S1S3.

3 例題反思

3.1 重視引導學生數形結合

在該例題中，我們看到了圖形特征在解題策略中所占據的重要作用，它會影響我們對面積公式的選擇，也直接造成了不同程度的計算量.因此，我在教學中，重視引導學生數形結合.

3.2 回歸定義

定義、定理是對數學對象的本質屬性的概括和內在規律的揭示，所以在該例題中我引導學生注意拋物線的定義和幾何特征.

3.3 一題多解，培養學生三“多”

在高三的教學中，我注重培養學生：多觀察，多總結，多嘗試.通過三“多”，讓學生參與到探索新知中來，充分鍛煉了學生的自主學習能力.

【本文受汕頭市教育科學“十四五”規劃項目（2021GHB034）資助】