真空態下高Q腔中的靜態Casimir效應

巴合提古麗·阿斯里別克，吐爾遜·艾迪力比克，鄭泰玉

(1.伊犁師范大學電子與信息工程學院光電材料與器件實驗室，新疆 伊寧 835000；2.東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024)

1948年，荷蘭物理學家Casimir首次預言了置于真空中且靠得很近的兩塊電中性平行金屬板之間存在吸引力[1].1956年，俄國物理學家Lifshitz對Casimir效應做了進一步的研究，提出了介質板之間的Casimir力[2]，并考慮了有限溫度對Casimir力的影響.目前為止，Casimir效應已經被多種實驗所證實[3-5].研究顯示Casimir效應與很多因素有關，如腔的大小和形狀、有限溫度、環境性質、時空維度、邊界性質等[6-9].隨著納米技術和微觀系統科學的不斷發展，Casimir效應已有了廣泛的應用前景.例如，隨著超大規模集成電路的發展，人們開始考慮Casimir效應對微電子技術的影響.Casimir效應不僅在量子力學范圍具有重要作用，在物理學的其他領域也具有重要價值，例如：凝聚態物理、量子場論、原子分子物理、數學物理、引力和宇宙學等[10-12].

本文研究的是由處于真空態的兩平行板組成的系統，其中一端是具有輸出耦合的一維腔場.基于光場環境模式，利用正規化方案，求出高Q腔中兩塊平行板之間Casimir力的解析表達式，并對此表達式進行了分析和討論.

1 系統的模型

圖1 一端輸出耦合的一維腔

本文研究的系統是一端具有輸出耦合的耗散腔，如圖1所示.該耗散腔由放在x=0處的半透明鏡和放在x=-L處的全反射鏡組成，半透明鏡的透射率為t，反射率為r.為了簡單起見，設線偏振的電磁波在x方向傳播，定義磁場的偏振方向為z軸，而電場的偏振方向為y軸.

假設半透明鏡不吸收，透射率t和反射率r滿足如下關系：

(1)

r*t+t*r=0.

(2)

系統中的耗散腔可通過半透明鏡與外界交換能量，因此會引起腔模式的衰變.本文研究的系統采用Lang等[13]提出的一種環境模式.在環境模式中，系統由一系列分立的量子化諧振子模式組成，而外界是由另一種連續的量子化諧振子模式組成.

根據環境模式，腔內電磁場可描述為[13]：

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

腔真空態可表示為

|0〉=?nk|0nk〉.

(8)

其中真空態|0nk〉對任意的n，k滿足

(9)

2 高Q腔中的Casimir力

耗散腔中兩平行板之間的Casimir力f等于零點能E0對腔長度導數的梯度.即

(10)

因此，首先計算零點能.腔場零點能可表示為

(11)

(12)

(13)

將(3)式和(4)式代入(13)式，并利用(6)—(9)式，計算得

(14)

根據Poisson’s的求和函數[14]，并假設透射率t和反射率r與波數k無關，可得環境模式中的函數L(k)的平方為[15]

(15)

其中：

(16)

(17)

(18)

(18)式中，Δ代表失諧量，當arg(r)<π時，x=0處的透鏡是半透明鏡，當arg(r)=π時，是全反射鏡.把(15)式代入(14)式，對k積分得

(19)

利用黎曼Zeta函數

(20)

整理得

(21)

其中

(22)

把(21)式代入(10)式可得輸出耦合一維腔中的Casimir力

(23)

當arg(r)=π時，得到

(24)

這與兩塊理想平行導體板之間的作用力一致[16].

3 討論

根據Casimir力的表達式(23)式，討論Casimir力和相關參數之間的變化關系.這里有2個參數，分別為腔尺寸(兩板間距)L和介質板反射率r.通過Matlab求解方程(23)式的數值解，畫出Casimir力和兩板間距的關系圖，如圖2所示.從圖2可知Casimir力為吸引力，且隨著腔尺寸L的增加而減小，這與理想腔的結果一致.

為了考慮Casimir力和半透明鏡反射率的關系，在反射率取不同值的條件下，討論Casimir力和腔尺寸之間的關系平面圖，如圖3所示.圖3中虛線表示的是反射率函數arg(r)=0.9π時的Casimir力，而實線表示的是反射率函數arg(r)=0.7π時的Casimir力.從圖3可知，腔的尺寸不變時，虛線表示的Casimir力始終比實線表示的Casimir力大.這表明高Q腔中的Casimir力隨著反射率的增加而增加.根據這一結果，可以通過調節腔壁反射率的大小來調節Casimir力.

圖4表示兩板之間Casimir力、介質反射率和腔尺寸之間的變化關系.從圖4可知，兩平行板之間的Casimir力隨腔壁反射率的增加而增加，隨兩板間距的增加而減少.

圖2 耗散腔中Casimir力隨腔尺寸的變化曲線

圖3 尺寸為L的真空腔中Casimir力和腔壁反射率之間的關系

圖4 Casimir力與耗散腔兩平行板之間的距離、腔壁介質板反射率之間的變化關系

4 總結

利用全量子理論研究了真空態下高Q腔中的Casimir效應.推導了處于真空態下一端具有輸出耦合的一維腔中平行板之間Casimir力的解析表達式.在此基礎上，分析了腔尺寸、腔壁介質的反射率對兩平行板之間Casimir力的影響.研究結果有助于進一步研究Casimir效應的相關問題.