一類三階微分方程特殊正解的存在性

趙玉萍，傅 華

(1.青海民族大學數學與統計學院，青海 西寧 810007；2.福建警察學院計算機與信息安全管理系，福建 福州 350007)

0 引言

微分方程在計算機科學、經濟學、生物數學等領域有著廣泛應用，微分方程的漸近性和正解存在性問題越來越受到人們的重視.關于二階微分方程的漸近性和正解存在性問題的研究成果較多[1-8]，對高階和分數階微分方程解的振動性、漸近性的研究引起了國內外學者的廣泛關注[9-16]，但是對高階微分方程正解的存在性問題研究較少.文獻[9]只研究了三階非線性微分方程

解振動的充分條件，并沒有考慮解的存在性和漸近性問題.文獻[11]研究了一類三階擬線性微分方程

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′′+b(t)|x(t)|β-1x(t)=0

正解的存在性.

受前述工作啟發，本文研究三階非線性微分方程

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′′+b(t)f(x(t))=0，0

(1)

(2)

1 基本引理

引理1 設條件(2)成立，x(t)是方程(1)的正解，則x(t)只有下面兩種可能，即存在T≥t0，使得當t≥T時，有：

x(t)>0，x′(t)>0，(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0；

(3)

x(t)>0，x′(t)<0，(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0.

(4)

證明這個引理的證明過程與文獻[6]引理1與引理2證明類似，此處省略.

當條件(2)成立時，如果x(t)是方程(1)的正解，由引理得

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′>0，

則存在T，當t>T時，

a(t)|x′(t)|α-1x′(t)≥a(T)|x′(T)|α-1x′(T)=c>0.

將上式兩邊從T到t積分，得

則存在k1>0，使得

那么當(2)式成立時，如果x(t)滿足條件(3)且

(5)

則稱x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最小解.

當條件(2)成立時，如果x(t)是方程(1)的正解，由方程(1)得

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))″=-b(t)f(x(t))<0.

因此

(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′≤(a(T)|x′(T)|α-1x′(T))′=b>0，t≥T.

將上式兩邊從T到t積分兩次，得

其中b1=a(T)|x′(T)|α-1x′(T).則存在k2>0使得

那么當(2)式成立時，如果x(t)滿足條件(3)且

(6)

則稱x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最大解.

本文主要討論在滿足條件(3)的情形下，方程(1)正解中最小解與最大解存在的充分和必要條件.

2 主要結果

定理1 設條件(2)成立，x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最小解，則

(7)

證明設x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最小解，則存在T≥t0，使得

(8)

當t>T時，必有

a(t)|x′(t)|α-1x′(t)<(3k)α.

若不然，則

x′(t)≥3k(1/a(t))1/α.

將上式從T到t積分，得

這與(8)式矛盾.說明0

將方程(1)從t到T積分，令T→∞得

將上式從t到τ積分有

而a(t)|x′(t)|α-1x′(t)有界，所以

由已知有

再由(8)式得

因此

從而(7)式得證.

定理2 設條件(2)成立，且

(9)

則方程(1)存在滿足條件(3)的正解中的最小解.

證明假設(9)式成立，令T≥t0，存在常數ρ>0，使得

(10)

假設x(t)是方程(1)的正解中的最小解，則

令I=[T，∞)，C[T，∞)是X:I→R上所有連續函數構成的空間，并且所有連續函數具有一致收斂于[T，∞)的緊致子區間的拓撲性質.定義C[T，∞)上子集合X滿足

集合X是定義在C[T，∞)上的閉凸子集，定義映射ψ:X→C[T，∞)，滿足

應用Schauder-Tychonoff不動點定理證明ψ有不動點x(t)，使得

x(t)=(ψx)(t)，t≥T.

(1)ψ是X到X上的映射.令x∈X，

由已知得

記ρ=f(x(T))，由(10)式有

從而ψx∈X.

|(ψxn)(t)-(ψx)(t)|≤

其中

進而有|(ψxn)(t)-(ψx)(t)|→0 (n→∞)在[T，T*]?I上一致成立，則ψ是X上的連續映射.

(3)ψx是相對緊的.令T*>T相對固定，則有

所以ψx在[T，T*]上一致有界，進而ψx在I上等度連續，由Ascoli-Arzela定理，得ψx是C[T，∞)相對緊子集.

因此，對映射ψ:X→C[T，∞)，應用Schauder-Tychonoff不動點定理，存在不動點x(t)∈X，當t≥T時，x(t)=(ψx)(t)，且x(t)∈X是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最小解.

定理3 設條件(2)成立，x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最大解，則

(11)

證明設x(t)是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最大解，則存在T≥t0，使得

將(1)式從t到τ積分，由引理1得

而(a(t)|x′(t)|α-1x′(t))′有界，則有

從而(11)式得證.定理3證畢.

定理4 設條件(2)成立，且

(12)

則方程(1)存在滿足條件(3)的正解中的最大解.

證明假設(12)式成立，令T≥t0，存在常數ρ>0，使得

記

令A=[T，∞)，C[T，∞)是X:A→上所有連續函數所構成的空間，并且所有連續函數具有一致收斂[T，∞)的緊致子區間的拓撲性質，定義C[T，∞)上子集合X滿足

X={x∈C[T，∞)|kW(t，T)≤x(t)≤2kW(t，T)}.

集合X是定義在C[T，∞)上的閉凸子集，定義映射φ:X→C[T，∞)，滿足：

類似定理2的證明，可以驗證:

(1)φ是X到X上的映射；

(2)φ是X上的連續映射；

(3)φx是相對緊的.

因此，對映射φ:X→C[T，∞)，應用Schauder-Tychonoff不動點定理，存在x(t)∈X，當t≥T時，x(t)=(φx)(t)，且x(t)∈X是方程(1)滿足條件(3)的正解中的最大解.證畢.

特別地，若方程(1)中的常數α和函數f(u)的性質稍做改動，則有下面的結論：

(13)

對上式從t到∞積分，有

對上式從t2到∞積分，有

后續工作中，可以進一步討論當條件(4)成立時，方程(1)正解中最小解與最大解存在的充分和必要條件.