局部緊的阿貝爾群上譜測度的幾何結構

買買提艾力·喀迪爾，范瓊，2，阿里米熱·阿布拉

(1.喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844000；2.華中師范大學數學與統計學學院，湖北 武漢，430079)

0 引言

在任何局部緊的阿貝爾群G上，甚至在有限群上可以討論譜集猜想[2].在歐式空間Rd，譜集猜想的研究取得了一些局部性的結果[3-4]，已知一般譜集猜想在維數d≥3的時候不成立[5-7].但迄今為止，譜集猜想在一維或者二維空間上是否成立仍不清楚.

1998年，文獻[8]發現了第一類奇異、非原子的譜測度.這一類奇異測度中，最簡單的情形是四分Cantor分形測度μ4，也被稱作伯努利卷積.從此以后，一大批數學家在這一領域進行研究，取得了有意義的研究結果[9-14].

本文將歐式空間Rd上有關譜對(μ，Λ)的研究推廣到一般的局部緊的阿貝爾群G上任意概率測度對(μ，ν)上，主要研究局部緊的阿貝爾群G上測度的譜性質與其卷積測度的譜性質之間的關系，同時研究G上譜測度的幾何結構.在歐式空間d上的相關研究可以參閱文獻[14-16].

1 預備知識

將譜對的概念推廣到任意概率測度.設μ是G上的一個Borel概率測度，L2(μ)是平方μ-可積函數空間所構成的Hilbert空間，亦即

在空間L2(μ)上的內積和范數分別定義為

稱(μ，ν)為一個譜對，當且僅當Fμ，ν：L2(μ)→L2(ν)是一個酉算子，亦即等距到上映射.

根據定義1，(μ，ν)是一個譜對，當且僅當(ν，μ)是一個譜對.根據等距算子的定義，

‖Fμ，ν‖L2(ν)=‖f‖L2(μ).

(1)

等式(1)等價于對任意f1，f2∈L2(μ)，有

定義3 設μ是群G上的Borel概率測度，則其Fourier-Stieltjies變換定義為

則以下說法是等價的：

2 主要結論及其證明

定義4 設X是一個度量空間，A?X是一個非空集合.如果對任意a1，a2∈A，0<α<1都有

αa1+(1-α)a2∈A，

那么稱集合A為凸集.

另一方面，對于μ∈M，定義：

注1 根據引理1，若μ∈M⊥(Λ)，則{eλ}λ∈Λ是空間L2(μ)上的規范正交系.若μ∈MONB(Λ)，則{eλ}λ∈Λ是空間L2(μ)上的規范正交基，亦即(μ，Λ)是一個譜對.集合MONB(μ)是測度μ的所有譜組成的集合.

證明設μ，ν∈M⊥(Λ)，并且0<α<1，由Fourier變換的線性性可得

所以

根據Cauchy-Schwarz不等式，有

(2)

從而，根據μ，ν∈M⊥(Λ)和不等式(2)，得到

故集合M⊥(Λ)是一個凸集.

為了證明集合MONB(Λ)不是凸集，對于μ，ν∈MONB(Λ)，0<α<1，考慮

不成立.因此，一般的情況下有不等式

故集合MONB(Λ)不是凸集.

對于μ，ν∈M，令μ?ν表示乘積空間G×G上的乘積測度，即對于集合A×B?G×G，有

(μ?ν)(A×B)=μ(A)·ν(B).

對集合A?G，定義A+={(x，y)∈G×G|x+y∈G}.如果A?G是一個Borel集，那么A+是G×G上的一個Borel集.

定義5[18]設μ，ν∈M，A?G是一個Borel集，則測度μ和ν的卷積定義為

(μ*ν)(A)=(μ?ν)(A+).

測度的卷積有如下性質[18]：

(1) 若μ和ν是概率測度，則μ*ν也是概率測度；

定理2說明在一般情況下，群G上的兩個譜測度的卷積測度不一定是譜測度，而定理3說明對測度附加一定條件之下，兩個譜測度的卷積測度還是譜測度.

定理2 設μ1，μ2是G上的兩個概率測度，且都不是Dirac測度，令μ=μ1*μ2.若{eλ}λ∈Λ是空間L2(μ1)上的一個正交系，則{eλ}λ∈Λ也是L2(μ)上的正交系，但不是L2(μ)上的正交基.

由引理1，{eλ}λ∈Λ是空間L2(μ)上的正交系，但不是L2(μ)上的正交基.

定義6 設A，B，C是G上的3個離散集合.如果對于任意a∈A，存在唯一一對(b，c)∈(B×C)使得a=b+c，那么稱集合A是集合B和集合C的直和，記為A=B?C.

(1) (μ，Λ)和(ν，Γ)分別是兩個譜對；

那么卷積測度μ*ν是以Λ?Γ為譜的譜測度.

顯然Zd是歐式空間Rd上的一個格，格L的對偶格定義為

因此，從定理3得到下面推論.

推論1 假設：

(1) 概率測度μ是G上以Λ1?L*為譜的一個譜測度；

(2)A?L是有限離散集合，且(A，Λ2)是一個譜對.

則測度μ*δA是以Λ1?Λ2為譜的譜測度.