混合模糊系統的權值參數優化算法

陳 雪，王貴君

(1.天津市第六十三中學，天津 300190；2.天津師范大學數學科學學院，天津 300387)

0 引言

模糊系統是輸入-輸出和狀態變量定義在模糊集上的一個非線性映射，其核心是由若干IF-THEN規則所組成的知識庫.文獻[1-2]利用Stone-Weierstrass定理證明了Mamdani模糊系統的逼近性，并通過疊代分層來簡化多個變量的模糊系統內部規則數目.文獻[3-4]針對T-S模糊系統引入串聯-疊加分層方法給出分層后該系統的輸入-輸出表達式和計算公式，并側重于對分層后的T-S模糊系統的逼近性和規則總數進行了研究.文獻[5]將Mamdani和T-S模糊系統統一起來建立了廣義分層模糊系統，并討論了分層混合模糊系統的規則數變化和逼近性能.這些結果為Mamdani模糊系統和T-S模糊系統的進一步應用提供了理論基礎.

事實上，以往人們主要是對單獨的Mamdani模糊系統或T-S模糊系統進行討論，關注焦點是如何通過不同分層輸入方法來縮減模糊規則總數，且分層后的模糊系統須保持逼近性能.文獻[6]基于混沌序列和BP算法設計了混沌BP混合算法，從而提高了全局搜索能力及收斂速度；文獻[7]提出了一種綜合遺傳算法和梯度下降法優勢的混合遺傳算法，以便強化系統的學習能力；文獻[8-10]給出了一種在GA算法中融合BP算法的混合學習算法，并以此來實現模糊邏輯系統的自學習，從而達到全局最優和快速搜索.文獻[11]基于混合模糊系統通過調控參數重新選取系統參數，證明了該模糊系統對連續可微函數具有逼近性，并且在強化條件下該系統可達二階逼近精度.然而，該文對混合模糊系統的權值參數優化卻并未涉及.本文將基于文獻[11]引入的混合模糊系統，通過構造權值梯度向量建立誤差函數，進而依據BP算法和遺傳算法對梯度向量實施權值參數優化，以便獲得全局優化的權值參數優化算法.

1 預備知識

事實上，一般模糊系統是基于知識體系或模糊規則的一類系統，它的本質是由若干模糊IF-THEN規則(簡稱IF-THEN)所構成的知識庫.通常，Mamdani模糊系統和T-S模糊系統是兩類常見的系統模型，它們不僅能處理語言信息，而且還能處理數據信息，兩者的主要區別是模糊規則的后件輸出不同.

Mamdani模糊系統IF-THEN規則形如：

T-S模糊系統IF-THEN規則形如：

顯然，兩種模糊系統的IF部分相同，而THEN部分不同.此時，按照各自模糊規則，若采用單點模糊化、乘積推理機和中心平均解模糊化方法，?x=(x1，x2，…，xd)∈U，得Mamdani模糊系統為

(1)

同理，也可獲得T-S模糊系統的輸出表示為

(2)

由于Mamdani模糊系統和T-S模糊系統具有相同的IF部分，但又各自具有不同特點，故將二者合并起來建立混合模糊系統是一個重要嘗試.實際上，混合模糊系統不僅是原來兩種模糊系統的自然推廣，而且它還能同時發揮兩種系統的各自優勢.

2 混合模糊系統及其表示

文獻[10]通過引入調控參數λ∈[0，1]將Mamdani模糊系統和T-S模糊系統合并起來建立了一種新混合模糊系統，其混合模糊推理規則形如：

事實上，混合推理規則是通過調控參數λ∈[0，1]將兩種模糊系統的THEN部分直接統一，而λ是決定混合模糊系統的一個關鍵參數.按混合推理規則、單點模糊化、乘積推理機和中心平均解模糊化給出混合模糊系統模型為

(3)

其中:x=(x1，x2，…，xd)∈U?d為混合模糊系統的輸入變量；調控參數為Mamdani模糊系統中第m個推理規則的輸出模糊集Bm的中心；為T-S模糊系統后件線性輸出ym的系數；為第m條規則在分量xi處的前件隸屬函數；Fλ(x)為混合模糊系統的輸出.

特別地，當λ=0時，混合模糊系統(3)退化為Mamdani模糊系統；當調控參數λ=1時，混合模糊系統(3)退化為T-S模糊系統；當調控參數λ∈(0，1)時，正是本文所要討論的混合模糊系統.

為簡單起見，不妨選取前件模糊集為一致完備的三角形模糊數，則?x=(x1，x2，…，xd)∈U及每個分量xi均滿足

此時，由文獻[12]，公式(3)中分母滿足

若令

則?λ∈[0，1]，混合模糊系統(3)可簡化為

(4)

3 權值參數優化算法

(5)

其中S=(d+2)M，亦即，誤差函數Eλ可進一步具體表示為Eλ(W).

設?Eλ(W)表示誤差函數Eλ(W)的權值梯度向量，則梯度向量?Eλ(W)也可表示為

優化算法對任意調控參數λ∈[0，1]，先通過輸入變量引入動態學習常數與動量常數，獲得權值參數的初始解.再采用動態調整交叉概率與變異概率，這樣不僅可將BP算法和遺傳算法合成，而且也能通過解碼轉換或搜索得到全局最優解.具體權值參數優化算法步驟如下：

(6)

其中權值參數的差量為

且η[t1]，α[t1]分別為學習常數與動量常數.

第四步如果‖?E(W′[0])‖<ε，則輸出權值參數向量W′[t1]；否則，令t2=t1+1，并轉第五步.

注1 顯然，所給算法是依據傳統的BP算法和遺傳算法的合成所得.所不同的是，該算法是依賴于Mamdani模糊系統和T-S模糊系統合成的混合系統所有調節參數構成的權值梯度向量來依次優化，其中第一至四步隸屬于BP算法，第五至八步隸屬于遺傳算法(GA).這里第四步中范數‖·‖是依據廣義歐幾里得度量界定，第五步采用二進制編碼來表現種群個體更便于解碼操作.

4 模擬實例

雖然BP算法具有較好的局部搜索能力，但卻存在收斂速度慢和易陷入局部極小點的缺陷.GA算法是基于自然選擇與種群進化形成全局尋優算法，它依據編碼方式將調節參數轉化成遺傳空間中個體，并通過解碼還原來優化參數，但它源于同一原始群體并非能搜索到全局最優解，甚至出現“近親繁殖”現象.為克服兩種算法的缺陷，本文結合BP算法與GA算法的各自優點對混合模糊系統的權值參數設計優化算法，并由此來提高算法收斂速度.綜合所給算法給出流程圖(見圖1).

圖1 所給算法的權值參數優化流程圖

通過一個簡單仿真模擬來說明該算法的有效性.為簡單起見，選取調控參數λ=0.5來探究混合模糊系統輸出的變化.設隨機產生1 000組數據，其中前600組數據用于混合模糊系統的訓練，后400組數據用于所構建模型的測試.首先，利用權值參數優化算法對混合模糊系統的權值參數進行優化，給定相關參數如下：種群總數n0=40，誤差精度ε=0.001，迭代次數T=500，交叉概率設置為0.8，變異概率設置為0.01.按照所給算法的第一至八步得到訓練誤差圖，如圖2所示.再利用后400組數據測試該系統的性能，得到測試樣本的誤差，如圖3所示.

圖2 權值參數優化算法訓練的誤差圖

圖3 測試樣本模型的誤差圖

由圖2看出，本文提出的權值參數優化算法大約經過420次迭代后曲線趨于穩定，混合模糊系統就可搜索到較優的權值參數向量，經測算得誤差為8.192×10-4.再由圖3知，對于后400組測試數據經測算該混合模糊系統的最大誤差為1.093×10-4，平均誤差為1.985 4×10-5.經權值參數優化算法后的混合模糊系統雖然有一定誤差，但這兩個誤差在允許誤差范圍內.另外，改進后的混合模糊系統誤差波動范圍較小，這不僅在收斂速度上有明顯提高，且節省了運行時間，也避免了系統陷入局部極值和隨機性的問題.

事實上，所給算法主要對輸入變量引入動態學習常數與動量常數，這不僅在加快BP算法搜索速度時達到對混合模糊系統權值參數的優化，而且可將優化后混合模糊系統權值參數作為GA算法的初始種群，進而把原來單個種群進化為多個種群，以便采用動態調整獲取交叉概率與變異概率.當然，依據引理1的梯度向量?E(W)，也可通過BP算法與GA算法的相互調用將權值參數按照BP算法進行優化，再通過解碼和搜索得到混合模糊系統的全局最優解和優化權值參數.

5 結論

本文基于Mamdani模糊系統和T-S模糊系統合成所建立的混合模糊系統設計了權值參數優化算法，該算法不僅可保證權值參數的全局優化，而且還能克服隨機性等問題.仿真結果表明，該權值參數優化算法對混合模糊系統的所有調節參數具有良好的優化性能.此外，調控參數λ的取值對整體混合模糊系統具有重要影響，尤其當λ→0+和λ→1-時，混合模糊系統分別趨于獨立的Mamdani模糊系統和T-S模糊系統.因此，如何優化調控參數λ的取值才能使混合模糊系統達到最佳逼近效果也是至關重要的.當然，這正是接下來需要探討的問題.