矩陣方程AXB+CYD=E的自反解與反自反解

張四保，鄧 勇

(喀什大學數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

設P∈n×n.若P*=P且P2=E，則稱P為n階廣義反射矩陣.定義n×n如下兩個特殊子空間：

廣義反射矩陣P的自反矩陣和反自反矩陣具有許多特殊性質，并被廣泛應用到工程和科學計算之中[1].矩陣方程是計算數學領域非常活躍的研究課題之一.關于矩陣方程的解法有大量文獻介紹[2-4].

對矩陣方程AXB+CYD=E.

(1)

利用矩陣的廣義逆和廣義奇異值分解，文獻[5-6]給出了其可解條件及通解；文獻[7-8]給出了求其自反(反自反)解的幾種迭代算法；文獻[9]給出了求耦合矩陣方程(1)自反解的梯度迭代算法；文獻[10]討論了受限的廣義Sylvester矩陣方程的相容性和通解.自反矩陣和反自反矩陣在信息論、線性系統理論、線性估計理論等領域有著重要的實際應用.本文主要討論矩陣方程(1)的自反和反自反解.

1 幾個主要引理

設P∈n×n是一個廣義反射矩陣，于是P可表示為如下形式[11]：

(2)

其中U=[U1，U2]是酉矩陣且U1∈n×r，U2∈n×(n-r).

(3)

其中：A1∈r×r，A4∈(n-r)×(n-r)，U和U*如(2)式所示.

(4)

其中:A2∈r×(n-r)，A3∈(n-r)×r，U和U*如(2)式所示.

不失一般性，假設矩陣A，B，C，D，E∈n×n有如下分解：

(5)

其中：A1，B1，C1，D1，E1∈r×r；A4，B4，C4，D4，E4∈(n-r)×(n-r).

2 主要結果

定理1 給定矩陣A，B，C，D，E∈n×n和n階廣義反射矩陣P，則下列條件等價：

(6)

有解，其中

(7)

(3) 矩陣方程組

(8)

證明(2)?(3).將(7)式代入(6)式中，可得矩陣方程組(8).這意味著(2)?(3).

若矩陣方程組(8)有解，則

并且有AXB+CYD=E.

定理2 給定A，B，C，D，E∈n×n和n階廣義反射矩陣P，則下列條件等價：

(9)

有解，其中

(10)

(3) 矩陣方程組

(11)

有解，此時矩陣方程(1)的反自反解可表示為

證明證明過程類似于定理1，此處略去.

3 特殊情況

定理3 給定矩陣A，B，C，D，E∈n×n.若B1=B2=D1=D2=0或A1=A3=C1=C3=0，則下列條件等價：

在此情況下，矩陣方程(1)的自反解可表示為

其中：

或

這里X1，Y1，J，J1，V，V1，W，W1，Z，Z1是保持運算的任意矩陣.

(12)

在此情況下，方程(12)的通解可表示為：

或

其中J，J1，V，V1，W，W1，Z，Z1是保持運算的任意矩陣.

定理4 給定矩陣A，B，C，D，E∈n×n.若B1=B2=D1=D2=0或A2=A4=C2=C4=0，則下列條件等價：

在此情況下，矩陣方程(1)的反自反解可表示為

其中：

或

這里X3，Y3，J，J1，V，V1，W，W1，Z，Z1是保持運算的任意矩陣.

證明證明過程類似于定理3，此處略去.