“變教為學(xué)”化解面積單位教學(xué)難點(diǎn)

浙江臺州市黃巖區(qū)北城街道中心小學(xué)（318020）吳榮軍

常見的面積單位包括平方厘米、平方分米、平方米等，學(xué)生對它們之間的進(jìn)率了如指掌，都知道相鄰兩個面積單位之間的進(jìn)率為100。對于面積單位之間的進(jìn)率為100，教師進(jìn)行了一次次推導(dǎo)，主要是通過長度進(jìn)率10的平方推演出面積單位進(jìn)率為100。一次次的圖形驗(yàn)證，讓這一進(jìn)率關(guān)系成為師生共識，但是到了“公頃”這里，就陡然變成10000的進(jìn)率，而且在名稱上也出現(xiàn)巨大變化：公頃不再沿用平方前綴，唯一不變的就是定義描述——邊長為100米的正方形的面積是1公頃，邊長為1千米的正方形的面積是1平方千米。雖然公頃與平方千米之間的進(jìn)率出現(xiàn)一些變化，但是公頃與平方千米之間的進(jìn)率仍是100，其推導(dǎo)也并不難，故照舊可以沿用以前的推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)。

這看似尋常不過的教程，畫幾個正方形就可以直觀演示和證明，學(xué)生學(xué)起來也駕輕就熟，條條款款如數(shù)家珍，但是學(xué)生一到應(yīng)用就漏洞百出，頻頻出錯。經(jīng)梳理發(fā)現(xiàn)，錯誤主要集中在三個方面：（1）對于公頃這個生面孔、新稱謂，學(xué)生很容易選擇性失憶；（2）學(xué)生分不清平方千米和公頃到底哪個是“上級”，哪個是“下級”；（3）學(xué)生容易思維定式，常將公頃和平方米之間的進(jìn)率默認(rèn)為100。事出有因，這些錯誤的出現(xiàn)是有緣由的，仔細(xì)分析，就會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生以前學(xué)過的面積單位，包括平方厘米、平方分米、平方米以及現(xiàn)在新增的平方千米，無一例外都對應(yīng)著一個長度單位，無論是在名稱上還是在定義上都是從長度單位擴(kuò)展衍生而來的。只有“公頃”是名副其實(shí)的“獨(dú)行者”，它沒有一個長度單位與之對應(yīng)（如表1）。

對此，學(xué)生就會按序排座，將公頃和平方米之間的進(jìn)率納入整個進(jìn)率體系之中。公頃和平方千米這兩個面積單位，一般只出現(xiàn)在工程建筑面積或者土地面積核算中，學(xué)生需要想象才能建立表象。因此，就會造成這種局面：對于公頃和平方千米，學(xué)生可以快速記憶，但是記憶維持的時間非常短暫，一旦時過境遷，就會遺忘，甚至以前建立的表象和積累的經(jīng)驗(yàn)也都會從潛意識中消退，或者從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中解體。為了讓學(xué)生將“公頃和平方千米”的相關(guān)知識點(diǎn)納入認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，形成深刻的印象，筆者借用“變教為學(xué)”的模式對公頃和平方千米的教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)，以直觀操作活動為載體，讓學(xué)生完整經(jīng)歷知識的形成與發(fā)展過程。

活動一：自由表達(dá)，喚醒舊知

1.目前你學(xué)過或者知道哪些面積單位？你可以把它們?nèi)苛_列出來嗎？

2.你知道這些面積單位的換算進(jìn)率嗎？嘗試用自己喜歡的方式表達(dá)出來，形式不拘。

這個活動看似簡單直接，卻蘊(yùn)含著無窮的玄機(jī)和奧妙。學(xué)生在回顧以往學(xué)過的面積單位時，會喚醒所有對于面積單位的記憶（如圖1），包括當(dāng)初如何定義面積單位，如何推導(dǎo)面積單位之間的進(jìn)率，如何運(yùn)用直觀的正方形來度量其他圖形，這樣所有相互關(guān)聯(lián)的知識都會一一閃現(xiàn)，無形中鞏固強(qiáng)化了學(xué)生的已有知識。這樣，沒有限制任何形式和表達(dá)方法讓學(xué)生說出相關(guān)面積單位的進(jìn)率，學(xué)生可以根據(jù)自己的個性化理解將模糊的知識表象和脈絡(luò)較為清晰地呈現(xiàn)出來。正因?yàn)椴痪行问剑詫W(xué)生才能有機(jī)會將自己相關(guān)的記憶激活，舊知也才能被最大限度地提取。“一千個讀者心中就有一千個哈姆雷特”，學(xué)生可以用自己擅長的方式來詮釋知識，每個人都有發(fā)表見解的機(jī)會，過去那種優(yōu)等生替所有人代言的局面一去不復(fù)返。學(xué)生傾其所能，將自己的所學(xué)毫無保留地展示出來后，就能實(shí)現(xiàn)新舊知緊密銜接，自然過渡。

圖1

學(xué)生在長度和面積的學(xué)習(xí)中積累了相當(dāng)豐富的經(jīng)驗(yàn)，同時也積淀了許多豐厚的表象，如用邊長為1個長度單位的正方形作為一個標(biāo)準(zhǔn)面積單位，對應(yīng)的面積單位是在相應(yīng)的長度單位上加平方前綴。至于進(jìn)率的轉(zhuǎn)化，也是結(jié)合長度單位的分割和面積單位的分切而直觀推算的。如將1平方分米切成橫豎10格，即10行和10列，那么1平方分米的大方塊就被切成10×10的小方塊，每個小方塊就為邊長為1厘米的正方形，也就是1平方厘米的面積單位（如圖2）。這個過程就是長度和面積的“雙切”，長度單位轉(zhuǎn)化的同時面積單位也轉(zhuǎn)化。學(xué)生回顧這些，可以再次將長度和面積融合，為后面公頃的學(xué)習(xí)建立良好的表象基礎(chǔ)。雖然公頃沒有適配的長度單位，但還是脫離不了這種直觀結(jié)構(gòu)，無非就是借用其他長度單位來構(gòu)建（如邊長為100米的正方形）。

圖2

活動二：自由討論，引發(fā)沖突

師：平方米是否就是面積單位的“天花板”了呢？還有沒有更“高級”的面積單位？如果有，這個面積單位應(yīng)該如何定義？它的大小是個什么量級？可以跟同伴交流一下，說說自己的設(shè)想，或者說說自己的設(shè)計(jì)藍(lán)圖。

（學(xué)生的回答妙趣橫生。）

生1：當(dāng)然還有比平方米更高級的面積單位，它就是1平方千米，因?yàn)殚L度單位米過后就是千米，所以對應(yīng)的面積單位平方米之后就應(yīng)該是平方千米。同理，我們能將邊長為1米的正方形規(guī)定為1平方米的面積單位，那么邊長是1千米的正方形也可以規(guī)定為面積為1平方千米的面積單位。我的想法很簡單：長度單位從小到大依次為厘米、分米、米、千米，那么按照對應(yīng)原則，面積單位從小到大依次為平方厘米、平方分米、平方米、平方千米。

生2：好像有點(diǎn)不對勁。你看，100個1平方厘米拼接起來就合成1平方分米，100個1平方分米拼接起來就合成1平方米。如果按此規(guī)律類推，那么緊接著就應(yīng)該是100個1平方米拼連起來，合成一個新的面積單位。

生1：那這個新的面積單位究竟應(yīng)該是什么呢？

生2：邊長為100米的正方形。

生3：你只是說了這個單位的幾何形態(tài)，還沒有給它命名呢？

……

師：大家認(rèn)為平方米和平方千米之間需要設(shè)置其他的面積單位加以過渡嗎？

（有的學(xué)生覺得應(yīng)該有，有的學(xué)生覺得應(yīng)該沒有，有的學(xué)生則難以決斷。）

這個活動給了學(xué)生自由的空間去建構(gòu)面積單位的概念，學(xué)生結(jié)合面積單位的定義和形態(tài)，推理出新的面積單位的形狀和大小，以及與之前的面積單位的順承關(guān)系。從開始的特征定義法，到后來的從小單位到大單位的遞推法，學(xué)生產(chǎn)生了認(rèn)知沖突：100個1平方米拼接起來合成的新的面積單位，如果按照與長度單位對應(yīng)晉級的命名法理應(yīng)叫作“平方千米”，但是按照面積單位的幾何圖形直觀定義法，1平方千米又應(yīng)該是邊長為1千米的正方形，顯然這與100個平方米拼接起來的大小不符；100個1平方米的正方形拼接起來應(yīng)該是邊長為100米的正方形，而如果按照正方形幾何定義的習(xí)慣，則這個面積單位似乎應(yīng)該叫作“平方百米”，可是根據(jù)長度單位和面積單位一一對應(yīng)加后綴的原則，在長度單位里又找不到一個叫“百米”的單位。至此，學(xué)生預(yù)感到在平方千米和平方米之間應(yīng)該還需要一個過渡的單位。如果只是對知識的背記，學(xué)生只知其然不知其所以然，但是通過一系列的討論交流活動，學(xué)生能按照自己的經(jīng)驗(yàn)推測出“平方千米”這個面積單位，同時又發(fā)現(xiàn)“公頃”的影子。學(xué)生的學(xué)習(xí)在交流、質(zhì)疑、修正中不斷深入和成熟。

通過對長度單位和面積單位縱向和橫向的對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)長度單位和面積單位在進(jìn)率上也存在緊密的聯(lián)系，這種聯(lián)系與切分法是分不開的，每當(dāng)相鄰的兩個長度切分成10的進(jìn)率后，由于縱橫相乘的關(guān)系，導(dǎo)致相鄰的面積單位之間的進(jìn)率變成100，于是，學(xué)生就形成動態(tài)認(rèn)知結(jié)構(gòu)：每當(dāng)長度擴(kuò)大10倍晉升到上級單位時，對應(yīng)的面積單位就會自動晉升到上級面積單位。但是，到了米往上直接跳級到千米，中間沒有十米、百米這樣十進(jìn)制的單位續(xù)接，因此，導(dǎo)致面積單位斷層。于是，學(xué)生就會想到要按照既定的進(jìn)制規(guī)則來補(bǔ)充新的單位，尤其是面積單位，在平方米和平方千米之間，跨度過大，必須創(chuàng)建新的單位填補(bǔ)這段空白。

活動三：擴(kuò)充單位體系，完善認(rèn)知

師：請大家將教材（人教版）翻到第34頁，看能否找到蛛絲馬跡。教材中為我們介紹了一些新的面積單位，這些都是比我們以前學(xué)過的面積單位更“高級”的單位，你們能想辦法記住它們嗎？

通過閱讀相關(guān)章節(jié)，學(xué)生明白了1平方千米=1000000平方米=100公頃，也從幾何形態(tài)上明確了邊長為100米的正方形的面積規(guī)定為1公頃的面積單位。但是，問題也隨之而來（如圖3）。既然邊長為100的正方形可以用來定義面積單位，那么邊長為10米的正方形也可以單獨(dú)作為一個面積單位，這個面積單位該怎么命名呢？

圖3

師：這個邊長為10米的正方形的面積的確存在過，它就是1公畝，這是中國的舊制面積單位。為了與國際接軌，新版教材已經(jīng)摒棄了這個單位，采用新的單位——公頃。

生1：那么1公頃=100公畝。

師：你怎么將這個新的面積單位納入原有的面積單位集合中？

生2：先把它們按從小到大的順序排序，如平方厘米、平方分米、平方米、公畝、公頃、平方千米，每相鄰的兩個面積單位之間的進(jìn)率都是100。

生3：這樣一來就把平方厘米到平方千米之間所有的面積單位都排滿了。

活動三使學(xué)生經(jīng)歷了知識生成和演變的過程，學(xué)生對面積單位間的進(jìn)率有了深刻全面的認(rèn)識。

活動四：建立表象，完善認(rèn)知

師：用我們身邊熟悉的場地印證1公頃和1平方千米的大小。

生1：居民廣場的面積有2.2公頃。

生2：在電視里經(jīng)常見到別人打高爾夫球，一桿子打下去，得花老半天時間去撿球，太費(fèi)事了。現(xiàn)在看來，在將近1公頃大的草地上找球和撿球都是不容易的。

在談到1平方千米時，學(xué)生想到了步行街，然后課后去步行街走了一遍，以它為標(biāo)準(zhǔn)想象1平方千米的正方形有多大。

學(xué)生這種身臨其境的體驗(yàn)與感知，勝過教師任何形式的描述。

以上四個活動的設(shè)計(jì)是逐漸遞進(jìn)的，在活動開展的過程中，學(xué)生有足夠的時間回憶舊知，自主建構(gòu)新知，在不斷反思的過程中感悟知識的生成經(jīng)過和因由，學(xué)生從傾聽者變?yōu)樗妓髡撸瑥乃烙浻脖匙兂衫斫庑杂洃洠嬲龑?shí)現(xiàn)了“變教為學(xué)”。