“數”“形”交錯促理解

江蘇連云港市灌云經濟開發區實驗學校（222299）張樹偉

在小學數學中，數與形永遠是并駕齊驅的，一直貫穿整個教學的始末，這與初中階段的代數與幾何不謀而合。代數的前身就是小學階段的算術，幾何的前身就是小學階段的平面圖形。到了高中、大學階段，它們就會巧妙融合，衍生出一門新學科——解析幾何，用代數知識解決幾何問題，可以用函數圖像反映數量關系，數與形合二為一，辯證統一，不分彼此。數形結合思想的萌芽就是建立在這樣的背景下的，它可以看成是解析幾何的萌芽階段，在小學數學階段起著至關重要的作用，既是一種重要的數學思想，又是一種解決數學問題的捷徑和王牌武器。筆者結合自己的教學實踐，談談教學中數形結合思想的滲透策略。

一、在數的概念中起步

萬事開頭難，數形結合思想的滲透最好從識數階段開始，數域是小學學段的一個重頭戲，既是基礎，又是貫通全套教材的線索，更是全部數學知識賴以生存的土壤。但對于小學生而言數字的定義是朦朧的，因此，教師不妨借助圖形，將可視化的圖形與抽象的數字勾連起來，用清晰的圖形線條來揭示算術概念中的本質，將抽象的運算轉化成直觀的圖形，從而為學生構筑數學概念的樓宇，夯實地基。

在數學教學中，通過數字與圖形的和諧統一和高度對應，引領學生經歷構建概念、理解概念及應用概念的全套過程，以感性的圖形來證明和詮釋理性的概念，學生慢慢從感性材料中脫離表象，在思維深處建立抽象概念，這樣的理性概念可謂根基渾厚。

如在教學“分數的初步認識”一課時，教師可借助各種各樣的感性材料來揭示分數的內涵，從而讓學生直觀感知分數的存在與用途。

教師在設計情境時，用符號來深入刻畫“一半”的意義。可以選用圖形符號，也可以選用文字符號，還可以選用特殊字符，如等，在比較與商議中凸顯符號的長處：簡明 扼 要 、 形象直觀，勝過千言萬語。與此同時，也要讓學生學會使用圖形語言去表達分數。

在詮釋分數概念之后，講述符號背后的分數發展史，讓學生接受數學歷史文化的熏陶，充分感受分數的發展脈絡。可以將各個歷史階段分數的表示法陳列出來，比如中國、埃及的先民們，都各自有獨特的分數表示法（如圖1），可惜這些表示法最終沒有流傳下來，直到人們發明了分隔符號“—”，這種表示法才算正式“落地”，并保留至今。最后，人們統一國際標準、創立數軸模型，在數軸上的整數坐標之間安插分數坐標。

圖1

除了借用這種半數半圖的形式深刻揭示分數的含義，教師還可以為學生的理解途徑和渠道提供形形色色的材料，將分數與整數統合到一條數軸上，幫助學生在完備的數域中捉摸分數的地位。

在整個小學階段，許多數域（如小數、百分數等）的概念教學，教師都要精心設計，謀篇布局、通盤考慮，利用圖形的直觀優勢，讓“形”成為最佳的佐證材料，將“數”的來源和本質闡釋清楚，打通圖形與數字之間的壁壘，也讓“形”成為學生思維向更高處攀升的跳板，學生對數字概念的認知自然會從淺薄走向深邃。

二、在數的運算中加速

在算術教學中，將算法背后的算理推向前臺，直接呈現在學生面前，讓學生在學習算法時不得不重視算理，應該成為教師教學的一大風向。教師應該用心在算術教學中滲透數形結合思想，用一些形象直觀的圖形，清楚地演繹出算理，幫助學生借助圖形促進思維快速發展，以圖形促進數字運算的可感可觸，從而實現由算理到算法的“反哺”。

如在教學“兩位數加兩位數的進位加法”時，教師應該先指導學生擺小棒，嘗試計算19+18，再如圖2所示，結合小棒合并的直觀圖，一邊對照小棒數量一邊抽象出數字，利用小棒的捆數和豎式的對應性（1捆對應十位數字1，1根對應個位數字1），推演豎式計算的過程和原理，用擺小棒與列豎式“雙線并行”的方法演繹“滿十進1”的深刻道理。在這里，直觀操作是為了攻克計算時的思維障礙和理解難點。

圖2

在操作后，學生慢慢就會不依靠小棒，抽象出純數字計算的整個流程。而在后續的教學中，直觀圖并沒有失去利用價值，仍可以發揮余熱，學生可以回顧學習經歷，利用直觀圖來反思整個數字計算過程，為豎式計算的每一步追根溯源，看看每一步計算的來源，為每一步的運算找到原型和“母體”，為數字豎式計算找到與直觀圖形這一“母體”維系關系的“基因”。

因為豎式計算中的每一步都能找到它在直觀圖形中的“基因片段”，所以學生能輕易地理解并接受“滿十進1”的合理性和必要性，實現算理與算法的高度統一。

又如在教學“分數乘、除法”的知識時，教師可以使用矩形塑料片作為直觀材料，讓學生通過分塊、涂畫的手工操作，將“數”的運算變換為對“形”的裁剪取舍，從而借助圖形語言來認識并掌握分數乘、除法的算理。將數形結合的思想融入數學運算中，為圖形和數字找到新的契合點，將算法的本質揭露無遺，為算理和算法齊頭并進、水乳交融增添新料。

三、在解題中起飛

1.用數形結合化復雜為簡單，厘清數量關系

數量關系是一切算式的存在基礎，沒有數量關系的數字就不可能存在于同一個算式中。課程標準指出，要從現實生活或具體情境中抽象出數量關系。數量關系不是憑空產生的，而是源于生活實際，缺少了現實生活情境支撐的數量關系就是空中樓閣，對一些應用題，分析其中數量關系反而成了重點和難點，列式計算倒是其次，因其數量關系繁多龐雜，學生很難全面掌握，想一個個記憶，更是難如登天。

如果充分運用數形結合思想，就會事半功倍，特別是巧妙運用線段圖等直觀地呈現各種復雜、不同類別的數量關系，更是起到快刀斬亂麻的作用，線段圖就像是一把破解數量關系的萬能鑰匙。

如解決“快餐店、電玩城和數碼城在香港路的同一邊。快餐店距數碼城280米，電玩城距數碼城350米。快餐店距電玩城多少米？”這一問題時，大部分學生只會一根筋地認為快餐店與電玩城分別在數碼城兩側，列式為280+350=630（米）。教師如果能引導學生用線段圖來表示三者的位置關系，就會引起學生警覺：快餐店、電玩城和數碼城各在什么位置呢？用線段圖就能清楚、直觀地展示兩種可能，如圖3。

圖3

直觀的線段圖不但可以激發學生的濃厚興趣，還可以讓復雜的關系變明朗，讓抽象的問題變得形象具體，幫助學生從對比強烈、涇渭分明的線段圖中提煉數量關系，建立基本的數學模型，提高解決問題的效率。

2.用數形結合化抽象為直觀，巧解經典

如雞兔同籠問題“已知雞和兔一共有10只，一共有32條腿，求雞和兔各有幾只？”這類問題，傳統解法林林總總，列方程解答、枚舉法、假設法。方法雖多，但對于小學生來說卻感覺處處受限、處處掣肘。比如中低學段的學生，對方程一無所知，用列舉法容易掛一漏萬、丟三落四，假設法的數量關系十分抽象，而且存在多種變化，虛實交錯，真假難辨，弄得學生暈頭轉向，不知哪個條件是真實的，哪個條件是假設的。

那么，采用什么辦法能夠讓低年級學生也能參透這個經典難題呢？答案就在眼前，非數形結合莫屬。

如圖4，先用圓圈表示10只動物。假設這10只動物全是雞，那么每只雞有2條腿，把腿補齊，只有20條腿，和總腿數相比，顯然還有32-20=12（條）腿沒著落。如果每只雞再增加2條腿，這樣一來就有12÷2=6（只）雞需要“多長”2條腿，顯然這是不可能的，那么只有6只雞變成兔子，才能多出12條腿，于是得出兔子有6只，雞有4只。

圖4

在類似的教學中，都可以讓學生按照題意畫圖，通過直觀圖將抽象的算術問題直觀化，這種做法看似小兒科，其實迎合了兒童心理，因為小學生此時正處于動作運算階段向邏輯運算階段躍升的發育期，采用這種途徑不但讓問題變得簡單，而且保護了學生的自信心。

四、在創新思索中發展

數形結合思想是小學數學中最常見的思想方法之一，也是學生最喜愛的數學思想方法之一。因為它符合兒童的思維特點，以形象、具體為主，以直觀為核心。因此，在小學數學教學中教師要在數的概念建立、數的運算學習、問題的解決研究中等靈活使用數形結合思想，還要在學習創新、創新思考等層面做出必要的努力，以期通過數形結合思想方法的應用，讓學生的數學學習變得更具智慧、更有深度。

以數學問題“林虹水果超市近期購進蘋果120箱，比購進的橘子的3倍少15箱。問購進橘子多少箱？”的教學為例。

1.放手一試，發現端倪

首先采取放手策略，讓學生在自主思考的前提下進行嘗試。教學中教師切忌急躁，要給學生一個讀懂問題信息、分析思考問題的機會，更要給他們一個自我體驗的機會。

學生紛紛投入問題的研讀和分析之中，并按照自己的思考進行解讀。有學生提出：因為蘋果的箱數與橘子箱數的3倍有關，所以就有120÷3=40（箱），再用40+15，得結果是55箱。也有學生提出新的思路：應該是120×3-15，結果是345箱，這樣的思考才符合題意。

其次，引導學生對不同思考進行必要的甄別。隨著不同結論的出現，學生也會驚訝無比。此時，就有學生提出疑問：同樣的一個問題，為什么不同的思考會出現不一樣的結果呢？這是沒有道理的。疑問給學生以震撼，也誘使學生深思問題研究中的滋味。

2.運用方法，助力思考

有學生提出：可以用結論去驗證，看看是不是有正確的結果。隨著這個思路，學生便開始驗算。在驗算中學生發現，對于答案55箱，結合習題的關鍵點“比購進的橘子的3倍少15箱”，驗算發現，55×3-15=150（箱），不符合習題中的信息“120箱”，它是錯誤的。再驗算345箱，345×3-15，無須計算下去，一眼就能看出這個答案多么滑稽。

面對此情景，教師就得引導學生開動腦筋，尋找記憶中的方法策略。此時，畫圖策略就會被提出。緊接著，學生就積極參與到畫線段圖來研究問題的學習之中。經過一段時間的畫圖，以及對圖例的解讀，學生發現：120箱比橘子箱數的3倍少15箱，因此補上15箱后的數量正好是橘子箱數的3倍，得120+15=135（箱），135÷3=45（箱）。隨著驗算的開展，他們發現這個思考是可靠的。

就在此時，也有學生提出：看線段圖，可以把120箱平均分成3份，每份40箱，還要把少的那15箱也平均分成3份，每份5箱，把它們合起來也是45箱。話音一落，課堂就掀起一片爭論聲，隨著思考和爭辯的推進，學生終于發現這一思考也是有道理的。由此，創新思考的“種子”就會在學生的腦海中埋下。

總之，在小學數學教學中，教師應有意識地滲透數形結合思想，以“形”的直觀彌補“數”的抽象，以“數”的準確反哺“形”的粗略，變抽象為具體，化無形為有形，實現代數與幾何兩大數學分支的早期融合。