在地形圖描畫中培養學生數感

江蘇蘇州市相城區黃埭實驗小學（215143）姚懷宇

綜合實踐活動作為新課程標準明確規定的主要內容之一，理應扎實推進。新課程標準明確指出，開展綜合實踐活動，就是要以問題為載體，讓學生懷著好奇心和探究欲自主參與實踐活動。它是教師通過問題引導來貫穿一個相對完整的活動過程，讓學生在體驗式學習中領悟知識。那么，該怎么貫徹新課程標準，有效開展數學綜合實踐活動呢？在一次區級巡回講堂展示課中，筆者有幸觀摩了一位特級教師上的“描繪海南島的地形圖”一課，現將其課堂實錄摘要整理，并做一些簡單的點評，以期與同行探討。

一、導出問題，激發探索需求

師（課件展示海南島風光圖片，包含海口市、三亞市、三沙市、儋州市等地）：請從未去過海南島的同學舉手。

師：剛才你們是不是被海南島的迷人風光給吸引了？老師曾隨團游覽過海南島，旅行前還特意買了一本旅游攻略《海南島游歷指南》，它對海南島做了詳細的描述。（課件出示資料：海南島本島南北長283千米，東西長257千米，海岸線長約1080千米。）看了這段文字描述，你們有什么想問的？

生1：海南島的地理區劃面積有多大？

生2：海南島的地形地貌像什么幾何形狀？

生3：海南島的常住人口有多少人？

師：你們的問題提得很好。剛才有同學問海南島的地形地貌像什么幾何形狀，僅靠上述三個數據，能概括海南島的幾何形狀嗎？

生4：能。海南島南北長283千米，東西長257千米，所以看起來像一方手帕。

師：它不是標準的方形，因為標準的方形長和寬都是一樣長的。你還有什么想說的？

生4：它更像一個長方形。

師：以上三個數據不足以說明問題嗎？怎么處理才能揭示其形狀？這是首先躍進老師腦海的一個式子——（283+257）×2=1080，對于這個式子你有何感想？

生5：這個式子與長方形的周長公式相吻合。

師：的確。都是先求出長加寬的和，然后再乘以2。據此推測，海南島的地形地貌接近什么幾何形狀？

生6：長方形。

師：計算時，我們不妨對各項數據做近似處理，如將283看作300，把257看作250，這樣估算所得的數據1110比海南島的實際海岸線長度（1080）要——

生7：長。

師：對！海南島的海岸線長度其實就相當于這個類似的長方形的周長。

師：現在你可以說說海南島的幾何形狀了嗎？

生8：海南島不是一個標準的長方形。

師：它不是一個規則的長方形，它的邊線是蜿蜒曲折的，不是平直的。

許多學生從未去過海南島，對于其地形地貌更是一無所知。教師選擇海南島最具代表性的風景圖和數據，引導學生提出“海南島的地理區劃面積有多大？”“海南島的地形地貌像什么形狀？”“海南島的常住人口有多少人？”等問題，從而激活了學生的探究欲。學生根據自己的生活經驗說出“海南島像一方手帕”“海南島不是標準的長方形”等，教師再通過數學算式啟發學生列式來深度揭示海南島的幾何形狀。學生通過列式、觀察，發現海南島的海岸線長度與長方形的周長相吻合。

過去我們常認為，綜合與實踐活動屬于科學勞動課，一定要讓學生親自動手實踐，或者實地考察，絕不能紙上談兵。有人曾認為綜合實踐活動是變相的文化補習，是披著綜合實踐“外衣”的課堂教學。其實不然，像本節課，引導學生認識海南島的地形圖就是一種有效的綜合實踐活動。世界之大，包羅萬象，宇宙乾坤，無窮無盡，我們不可能什么地方都親自踏足，不可能什么學問都親身體驗，有時通過圖片和模型也能達到同樣的目的，甚至效果更好。比如研究海南島的地形地貌，親自游覽海南島不見得比觀看其地形圖來得清楚。學生通過觀察海南島的地形圖，能從海岸線的輪廓中抽象出一個標準的幾何圖形，然后利用所學的周長計算公式近似計算出其海岸線總長。但是，要讓學生明白這種處理所得的數據不能完全取代真實值，海南島真實的海岸線長度要比這個計算結果大。

二、畫海南島，實現數形結合

1.一畫海南島，初成雛形

師：如果要你描繪出海南島的地形，你打算怎么畫？

生1：先畫一個長方形。

師：這個長方形的尺寸如何設計？老師這里有“4厘米×1.5厘米和8厘米×3厘米”兩種尺寸，你選擇哪一種？

師：請各小組交流討論，拿出一個方案。

（學生交流討論）

師（出示圖1）：這是第一組設計的作品。

圖1

生2：這個形狀太隨意了。

師：還有其他意見嗎？

生3：數據不對，寬為257千米，不應該是250千米。

師（出示圖2）：這是第二組設計的作品。哪位同學先來點評？

圖2

生4：感覺邊線彎折后比原長更短了。

師：為何變短了？請用已學的知識做出合理的解釋。

生5：因為縮進去的斜邊比兩條直角邊的長度總和要短。

師：縮進去的也不是平直的線段，誰還有更好的解釋？

生6：海南島的實際周長要比長方形的周長長，而長方形的內接“橢圓”的周長比長方形周長短，所以不對。

師：為什么內凹的線條一定比這兩條線段之和要短些？

生7：我是將內凹的線條看成近似的直線，它和長方形兩邊組成一個近似的直角三角形，而根據三角形邊長特征“兩條直角邊的長度和要長于斜邊的長度”，于是“橢圓”的周長小于長方形的周長。（掌聲響起）

師：這次我們又用到了什么知識？

生8：三角形的兩邊之和大于第三邊（直角三角形兩直角邊之和大于斜邊）。

師（出示圖3）：這是第三組設計的作品。對于這組作品，你們有何想法？

圖3

生9：它過于狹長。

師：先說優點。你看作品的輪廓符合長方形的形狀，但是海岸線的褶皺太多，總長度勢必會超過長方形。同學們，通過剛才的研究，我們知道要在長方形的基礎上描繪出海南島的地形，不能一蹴而就。在描畫的時候，需要注意哪些細節？

生10：南北、東西線不能超出長方形的長和寬。

生11：表示海南島海岸線的弧線不宜太多，也不宜太少，要適量。

2.二畫海南島，“畫”出數感

師：現在請再畫一次海南島的地形圖。

（學生嘗試畫圖，與同桌交流后集中反饋）

師（出示圖4）：這是第四組設計的作品。前后對比，你發現了什么？

圖4

生12：有改進！

師：對。失敗的作品可為后面成功的作品提供借鑒和參考。剛才有同學問海南島的土地面積有多大（課件出示：海南島的土地面積約為3.6萬平方千米），看到這個數據，你有何感想？

師：資料里提供的海南島的土地面積是3.6萬平方千米，而有同學測算出的卻是7.5萬平方千米［300×250=75000（平方千米）］，為何會有這么大的差距？

生13：因為海南島的海岸線是彎彎曲曲的，所以其面積比長方形的面積要小得多。

師：海南島的實際土地面積占長方形面積的幾分之幾？

生14：大約二分之一。

生15：五分之三。

既然是從綜合實踐活動中探尋數學理論知識，就會存在一個不可回避的問題，那就是操作中總會出現這樣或那樣的誤差，因為實際與理論總不會那么吻合，比如海南島的輪廓，雖然學生盡力使其往長方形無限逼近，但因為海岸線的無規則彎曲，所以不可避免地存在誤差，但是誤差是寶貴的教學資源，它也給教學帶來了新的契機。學生判斷誤差是偏大還是偏小后再調整調整，學習新的理論和新的知識。如圖2，將內凹的曲線看成三角形第三邊，它比兩條直角邊的和小，是利用了“三角形兩邊之和大于第三邊”這條推論。由此可見，即使是在無法精確算出數據的情況下，也能通過定性分析得出相對可靠的結論，而且在整個去偽存真的過程中印證的各種定理，也是一次數學知識大“串燒”。

三、課后分析

教師課前為學生呈現了一個直觀形象的學具——4厘米長、1.5厘米寬的長方形，讓學生據此勾畫海南島的地形圖，整個過程精彩紛呈。

一是放手讓學生自主探究，教師進行評議。每一次畫海南島，教師總是先提供一些引導性信息，促進學生數學化思考，并重點展示學生的作品，讓學生說說想法，然后集中交流評析。學生毫無保留地說出自己的創作經過和真實體驗，并對他人的作品提出中肯的評價和建設性的意見。繪圖者虛心聆聽意見，認真反思，虛心接受，不斷修正、改良，使自己所勾畫的圖形越來越接近海南島的真實地貌，教師則一直從旁指點。整個過程，師生配合默契，互動良好。

二是畫圖的要求呈現梯度爬坡，提供必要數據，實現數形結合。二畫海南島以后，教師呈現了海南島的面積數據，并提問“看到這個數據，你有何感想？”當學生算出海南島的土地面積為300×250=75000（平方千米）時，教師讓學生進行對比，引發學生對計算值和真實值存在巨大差距的認知沖突。在學生思維發展的高潮期，教師總是能趁熱打鐵，使學生的思維水平得到提高。

本次活動前后兩次畫海南島，第一次畫海南島是著眼于周長，而且反復畫了幾幅作品，每幅作品都有不足之處，但是出示的作品一幅比一幅有進步，這是因為每次嘗試都是有目標的，每次嘗試都是帶著科學嚴謹的理論，所以操作誤差在不斷縮小，無限向精確值靠近。第二畫次海南島也是這樣，在真實面積和估算面積之間不斷尋找平衡，不斷尋找造成誤差的原因，然后在允許誤差存在的情況下，計算出真實面積占估算面積的幾分之幾，讓學生從誤差中跳脫出來，切換到分數計算的知識領域，這就是綜合實踐的魅力：可以在各個環節串聯起不同的知識，并通過看似隨意的知識串接，培養學生的數感。

三是學生通過反思和修訂，使得所畫圖形越來越接近海南島的真實形貌。在每一次學生完成繪圖任務后，教師都會善意地督促學生反思。如一畫海南島后，教師提出：“為什么內凹線條一定比這兩條線段之和短些？”在教師的質疑下，學生自我反思，喚醒舊知，積極求證，最終檢索到了“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的理論依據。又如二畫海南島后，教師運用對比，引導學生“失敗的作品可為成功的作品提供借鑒和參考，前后對比一下，你會有更多的發現。”，提醒學生思考哪些地方考慮欠妥。一個個環環相扣的問題，促使學生發現自己的不足，并不斷反思和尋求理論依據，然后加以修正完善，對海南島的形貌由最初的模糊抽象到后來的明確具體，數感在畫圖的過程中逐漸明晰，學生的數學活動經驗不斷豐富，數學綜合實踐活動的基本特色得以充分彰顯。