具有不同非線性發病率的兩菌株模型分析

任亞鑫,薛亞奎

(中北大學 理學院, 太原 030051)

0 引言

傳染病盡管在預防和治療方面取得了重大進展，但仍在全世界內造成大量死亡。為控制疾病的傳播，需要對傳染病進行定量研究，從而促進了疾病傳播機制的研究。[1-2]

經典流行病模型經常采用雙線性發病率和標準發病率。這些模型只能研究相對簡單的動力學行為，為模擬更復雜的現象，許多學者引入不同形式的發病率進行建模，比如：飽和發病率、非單調發病率和一般發病率等等[3-5]。例如，Capasso等[3]提出的飽和發病率f(I)S=βSI/(1+αI)，其中f(I)在I變大時趨于飽和水平；Xiao等[6]提出了一種非單調函數形式的發病率f(I)S=βSI/(1+αI2)，描述了在感染個體相對較多的情況下感染率也會降低的現象。當α=0時，上述2種發病率變為雙線性發病率，這可對2種或2種以上菌株進行觀察。而在傳染病動力學方面的研究工作中，有很多疾病，比如：肺結核、流感、艾滋病等[7-9]，是由不同的菌株所引起的。因此，使用多菌株模型可以更好地描述由多個菌株引起的不同疾病的流行[7-14]。

考慮到不同疾病的傳播方式不同，人們對其認識和自我防護意識的不同，受Yates[15]的啟發，假設菌株非均勻混合，為模擬這一現象，本文建立并分析了具有發病率為βIS/(1+αI)和βIS/(1+αI2)的兩菌株的SEIR傳染病模型。

1 模型建立

模型包含6個變量，即易感個體S、潛伏個體E1和E2、感染個體I1和I2、恢復個體R。 假設無因病死亡，新生兒均為易感個體，不考慮疾病的垂直傳染。可建立如下模型：

(1)

2 基本再生數及平衡點的存在性

由于模型(1)的前5個方程與R無關，所以模型(1)可以簡化為：

(2)

根據下一代矩陣算法[16]，得到

計算得

從而

令

a=γ1+δ，b=γ2+δ，c=μ1+δ，d=μ2+δ

則有

定理1模型(2)有4個平衡點：

3 平衡點的穩定性

證明構造如下Lyapunov函數

計算L0沿著模型(2)的導數，得

由算術平均值與幾何平均值之間的關系，有

證明構造如下Lyapunov函數

計算L1沿著模型(2)的導數，得

令模型(2)右端等于零，在X1處有

因此

由算術平均值與幾何平均值之間的關系，有

證明構造如下Lyapunov函數

計算L2沿著模型(2)的導數，得

令模型(2)右端等于零，在X2處有

因此

由算術平均值與幾何平均值之間的關系，有

證明構造如下Lyapunov函數

令模型(2)右端等于零，在Xt處有

計算L3沿著模型(2)的導數，得

由算術平均值與幾何平均值之間的關系，有

4 數值模擬與討論

為驗證得到的結果，對模型(2)各平衡點的全局穩定性進行數值模擬。模型初始值設置為(S(0),E1(0),E2(0),I1(0),I2(0))=(20,8,8,2,3)。參數選取見表1，其中部分源于文獻[18]。

表1 參數值

參數圖1圖2圖3圖4Λ0.8000.8000.7500.800δ0.1000.1000.1000.100β10.1000.4500.1100.300β20.1100.0900.8000.200γ10.4000.4000.3300.600

參數圖1圖2圖3圖4γ20.3000.6000.4000.700μ10.7500.4000.5400.150μ20.7500.8000.2000.200α10.2000.0100.7000.110α20.1200.8000.0010.015

圖

圖

圖

圖

圖5展示了參數α1和α2對染病者數量的影響。參數選取Λ～μ2與圖4中采用數值相同。對2種菌株分別采用相同抑制作用的參數(α1和α2)后，感染個體I2的數量明顯低于I1的數量，從而類似菌株2的發病率的疾病相較于類似菌株1更易控制。這表明了解傳染病對控制疾病傳播有指導作用，積極的控制措施和政策有助于降低感染率。

圖5 參數α1和α2對染病者數量的影響

5 結論

采用兩菌株模型，研究了具有不同非線性發病率的傳染病動力學行為。計算出模型(2)的4個平衡點，借助構造Lyapunov函數，應用LaSalle不變集原理，討論了各平衡點全局漸近穩定性，并得到其充要條件。數值模擬結果與理論分析相吻合。研究結果表明：

1) 兩菌株持續存在時，具有較高基本再生數的菌株將占優勢。

2) 研究疾病的發病率對控制疫情蔓延有指導作用，感染個體數量較多的情況下，采取積極的控制措施和政策可有效降低感染個體的數量。