不畏浮云遮望眼 只緣“構(gòu)造”在心頭
——幾種構(gòu)造函數(shù)的方法在高考解題中的運(yùn)用

周 萍

(江蘇省昆山經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué) 215300)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，近幾年間構(gòu)造函數(shù)法在高考試題中屢次出現(xiàn)．本文介紹幾種構(gòu)造函數(shù)的方法來解決高考數(shù)學(xué)試題．

1 用同構(gòu)法構(gòu)造函數(shù)

1.1 簡(jiǎn)單的函數(shù)構(gòu)造

點(diǎn)評(píng)通過觀察，這兩個(gè)方程相似，所以只需結(jié)合三角公式將第二個(gè)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危憧傻贸雠c第一個(gè)方程相同的形式，再構(gòu)造函數(shù)．

例2(2021年南通一模)若alna>blnb>clnc=1，則下列關(guān)系正確的是( )．

A．eb+clna>ec+alnb>ea+blnc

B．ec+alnb>eb+clna>ea+blnc

C．ea+blnc>ec+alnb>eb+clna

D．ea+blnc>eb+clna>ec+alnb

1.2 對(duì)稱法構(gòu)造函數(shù)

例3(2019年鄭州三模)已知f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′(x)，對(duì)任意x∈R，有f(x)-f(-x)=x3，在(0,+∞)上有2f′(x)-3x2>0，若f(m-2)-f(m)≥-3m2+6m-4，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )．

A．[-1,1] B．(-∞,1]

C．[1,+∞) D．(-∞,-1]∪[1,+∞)

1.3 ex與ln x型同構(gòu)式構(gòu)造函數(shù)

此類同構(gòu)式常用形式有xex和xlnx，即xex=eln xex，xlnx=(lnx)eln x；還有x+ex和x+ lnx，即x+ex=eln x+ex，x+lnx=eln x+lnx．

A．[1,+∞) B．[e,+∞)

例5(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)略；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍．

點(diǎn)評(píng)同構(gòu)式函數(shù)其實(shí)是復(fù)合函數(shù)的另一種改寫方式，只要復(fù)合函數(shù)能解決的問題，同構(gòu)式基本可隨之解決．近幾年高考中的一些不等式恒成立求參數(shù)范圍問題、零點(diǎn)存在問題及不等式證明中，用同構(gòu)式的方法屢次出現(xiàn)．

以上構(gòu)造函數(shù)的方法主要可通過因式分解、移項(xiàng)、通分、除以同因式、兩邊取對(duì)數(shù)等手段，將方程或不等式“改頭換面”，使其變成結(jié)構(gòu)相同的方程或不等式，亦或是復(fù)合函數(shù)形式等，進(jìn)而構(gòu)造出較易解決的新函數(shù)．這就要求學(xué)生善于觀察題設(shè)中的函數(shù)形式，挖掘其本質(zhì)，并熟悉常見的函數(shù)形式，抽絲剝繭，系統(tǒng)分析．

2 用放縮法構(gòu)造函數(shù)

在高中壓軸題中，不等式的證明或者參數(shù)范圍的求解往往蘊(yùn)含較復(fù)雜的形式，需要利用不等式的傳遞性，將原有形式進(jìn)行放大或縮小，進(jìn)而簡(jiǎn)化求解過程．高中階段最常用的有三種放縮，其原理都是利用曲線的切線，將指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)放縮成一次函數(shù)形式．

2.1 基于指數(shù)放縮ex≥x+1構(gòu)造函數(shù)

例6(2021年蘇州期初調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=xeax-lnx，其中a>0．

(1)略；(2)對(duì)于給定的常數(shù)a，若f(x)≥bx+1對(duì)x∈(0,+∞)恒成立，求證：b≤a．

點(diǎn)評(píng)本題函數(shù)結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以先“同構(gòu)”，使得變量統(tǒng)一成ax+lnx這一整體，再立足于指數(shù)放縮式ex≥x+1，得到eax+ln x≥ax+ lnx+1，最終達(dá)到消除變量的目的．

2.2 基于對(duì)數(shù)放縮x-1≥ln x構(gòu)造函數(shù)

例7(2021年南京一模)設(shè)函數(shù)f(x)=ax+e-x(a>1)．

(1)求證：f(x)有極值點(diǎn)；

(2)設(shè)f(x)的極值點(diǎn)為x0，若對(duì)任意正整數(shù)a都有x0∈(m,n)，其中m,n∈Z，求n-m的最小值．

點(diǎn)評(píng)本題中涵蓋除變量x外的某些參數(shù)，受其結(jié)構(gòu)和參數(shù)的影響，其處理步驟無法順利進(jìn)行，所以采用對(duì)數(shù)放縮x-1≥lnx，簡(jiǎn)化求解過程．

2.3 基于三角放縮sin x≤x≤tan x構(gòu)造函數(shù)

例8(2021年八省聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)= ex+sinx+cosx．

(1)略；(2)若g(x)≥2+ax，求a．

當(dāng)x<0時(shí)，同理可得a≥2，故a=2．

點(diǎn)評(píng)本題將三角放縮和指數(shù)放縮完美結(jié)合，化曲為直，使放縮這一構(gòu)造函數(shù)的方法在導(dǎo)數(shù)不等式的求解中大放異彩．

3 極值點(diǎn)偏移條件下的函數(shù)構(gòu)造

在“極值點(diǎn)偏移”條件下構(gòu)造函數(shù)，一般用于f(x)是連續(xù)函數(shù)，在(x1,x2)上有唯一極值點(diǎn)x0，且在f(x1)=f(x2)成立的前提下，x1,x2與極值點(diǎn)x0之間不等關(guān)系的證明．處理這類問題主要有以下兩種方法.

3.1 主元對(duì)稱化構(gòu)造函數(shù)

例9(2021年新高考卷)已知f(x)=x(1- lnx)．