2022年全國高考數學乙卷導數壓軸題的簡單解法

曹會洲

(安徽省定遠中學 233200)

2022年全國高考數學乙卷第21題是一道導數壓軸題，題目如下：

已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)和(0,+∞)各恰有一個零點，求a的取值范圍．

本題第(1)題較容易，不再贅述.以下重點討論第(2)題，給出一個簡單解法：

由題意知，f(x)在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個零點?方程ln(1+x)+axe-x=0在區間(-1,0),(0,+∞)各有一個實根?函數g(x)=exln(1+x)與y=-ax的圖象在區間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個交點．

至此可以作出g(x)的大致圖象，如圖1所示．又g′(0)=1，所以g(x)在x=0處的切線方程為y=x，要使函數g(x)=exln(1+x)與y=-ax的圖象在區間(-1,0),(0, +∞)各恰有一個交點，則-a>1，從而a<-1．

圖1