一道課本習題的幾種思考視角

吳水榮

有時一道題目可用多種方法解答，平時做題不應只著眼于做出這道題，而要嘗試用多種解法解答.嘗試從多個角度解題，可以拓寬思路，在遇到其他類型的題目時會有意外收獲.下面我們就以課本的一道題對一題多解相關問題作思考.

人教版A版選修4—5《不等式選講》第41頁第5題：已知2x+3y-4z=10，求x+y+z的最小值.

命題意圖：主要考查柯西不等式的知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，難度適中.對于這道題，若能調動所學知識，從不同的視角進行思考，就能探索出多種解法.

一、解法探究

1.不等式的視角

分析：（三維柯西不等式）設是實數，則，當且僅當b=b=b=0或存在一個數，使得時，等號成立.可利用此不等式及其取等號的條件.

解法1：根據柯西不等式，當且僅當，即時取最小值.

2.向量的視角

分析：若能構造空間向量，當且僅當與同向時，等號成立.可利用此向量不等式及其取等號的條件.

3.方程的視角

4.幾何的視角

點評：我們對方法的認識和使用往往是分散的，用一個方法能解決所面臨的問題就滿足了.通過前面的探究和思考，我們認為：這些方法之間似乎存在關聯.

首先，三維柯西不等式的證明與方程的配方有關.

最后，三維柯西不等式也可用空間幾何方法證明.

我們看到了四種方法的聯系，一脈同根，組成一個方法鏈，充分顯示了知識間的有機聯系和橫向貫通.有了這樣的認識，各種方法之間不再孤立，使用時可以相互啟發，相互借鑒.

二、試題鏈接

三、2013年高考題的延伸

2013年湖南高考卷理科第10題：

該題從柯西不等式、向量的方法、方程的角度解決較容易，從幾何的視角：點到面的距離的角度考慮較難，為什么？如何將a+4b+9c表示空間點到原點的距離的平方呢？

四、柯西不等式的延伸

三角視角：利用三角形的兩邊之和大于第三邊.

總之，找出解法是解題的關鍵，找出一種解法就是溝通了條件與結論之間的一個聯系，找出多種解法就是溝通了多個聯系.因此，“一題多解”的過程就是深入理解數學的過程，就是溝通已有知識經驗之間更深刻聯系的過程.通過以上研究：不等式、向量不等式、配方、判別式……組成了一個方法鏈；代數、幾何、向量是脈脈相通的.有意識地積累“知識鏈、方法鏈”，“舉一反三”“觸類旁通”就能落到實處.