基于梯形模糊互反判斷的一致性分析

劉萬里,劉衛鋒,何 霞

(鄭州航空工業管理學院 數學學院,河南 鄭州 450046)

1 引 言

由Saaty[1]建立的層次分析法(簡稱AHP)是一種多目標決策方法,在許多領域得到了廣泛的應用。隨著研究的深入，經典的層次分析法(AHP)已經擴展到模糊判斷形式(包括區間數判斷、三角模糊判斷和梯形模糊判斷)，這更適合于表達人類的直覺。 眾所周知，使用AHP進行決策時，判斷的一致性問題是衡量決策合理性和準確性的關鍵問題，因此關于判斷的一致性研究一直是模糊層次分析法中的重要課題。關于區間判斷的一致性研究[2-7]和三角模糊判斷的一致性的討論[8-18]已經獲得很多成果，研究內容比較豐富，但沒有一個統一的標準。其中Buckley[14]是利用模糊傳遞公式來定義三角模糊互反判斷的一致性問題，而Dubois[15]認為這種一致性事實上是不存在的。Wang等[16]針對三角模糊互反判斷的一致性概念提出若干性質用以完善模糊FAHP。Meng等[17]利用割集方法把三角模糊互反判斷轉化為區間數互反判斷，然后利用區間數互反判斷的一致性來定義三角模糊互反判斷的一致性問題。Liu等[18]利用分解方法把三角模糊數的元素分解為三個數字互反判斷矩陣，按經典的Saaty的一致性指標來檢驗。而關于梯形模糊互反判斷的一致性研究相對較少，現有的研究也都存在不少問題，需要補充完善。針對梯形模糊互反判斷，Buckley[14]最先給出一種一致性定義，所給出的判斷方法僅僅用梯形模糊數的中間兩個元素所構成的區間數的信息來處理，此方法理論根據不夠充分，實際操作不便進行，因此該方法不被廣泛接受。Meng等[17]比較嚴密地給出了梯形模糊互反判斷的一致性定義，但是缺乏判定方法，無法用有限計算進行一致性檢驗。Wang[2]雖然巧妙地解決了區間判斷的一致性檢驗問題，但對于梯形模糊互反判斷的一致性問題是利用割集方法轉化為區間數來處理，此方法需要進一步完善。

Liu等[18]通過對梯形模糊判斷矩陣進行分解，把每個梯形模糊數的4個元素分開，分別建立4個數字互反判斷矩陣，然后針對每個數字互反判斷矩陣，使用經典的AHP檢驗一致性指標進行檢驗。Zhang等[19]通過舉例說明文獻[18]所提出的關于梯形模糊互反判斷一致性定義的不足和不穩定性，并給出一種滿意一致性的定義方法。

Zhang等[19]所給出的檢驗一致性方法是通過梯形模糊數的元素利用幾何平均的方法建立兩個經典的數字互反矩陣，用這兩個經典的數字互反判斷矩陣的一致性指標作為依據，從而檢驗一致性是否滿意。但該方法忽視了梯形模糊數分散性的作用，且沒有提供充分的理論根據。呂智穎等[20]針對梯形模糊互反判斷矩陣提出一種滿意一致性定義方法，該方法是通過建立排序判斷矩陣，然后根據排序判斷矩陣是否出現循環現象來判斷一致性是否滿意。該方法思路很好，但是使用范圍有一定的局限性。本文針對梯形模糊互反判斷矩陣將提出一種新的一致性定義和檢驗方法。本方法基于相容性的概念，根據一致性的傳遞思想，把滿足邏輯順序作為檢驗的條件，給出檢驗定理。本方法統一了梯形模糊判斷、三角模糊判斷和區間數判斷三種形式，并且避免了固定閾值指標的限制，簡單實用。

2 知識回顧

為了表示不確定性，實數被擴展到區間數、三角模糊數以及梯形模糊數。

定義2[20]設S1,S2,…,Sn是n個方案,由兩兩重要性比較所產生的判斷矩陣如(1)所示：

(1)

注1 主對角線上元素 “1” 可以寫為(1,1,1,1),即1=(1,1,1,1)。

3 有關梯形模糊互反判斷的一致性概念

定義4對構成梯形模糊數的元素使用幾何平均算法給出了一種檢驗TFRJM一致性的簡單方法。但是由于平均數只體現了集中程度，而梯形模糊數的分散程度未能體現，這種檢驗可能會把本該不滿意一致性判斷成滿意的。

總之，目前大多數方法都有兩個共同的特點，一是把TFRJM 轉化為若干個數字互反判斷矩陣，然后使用Saaty的方法進行檢驗；二是用有限的判斷來決定無限狀態的一致性。這是目前的研究難以回避的痛點，因為這兩點的理論根據不充分也不嚴謹。為了克服以上兩個痛點，下面給出一種新的定義方法。

4 梯形模糊互反判斷矩陣的一致性新概念

本文的理論根據是：不管怎樣判定，在一致性傳遞下，組成梯形模糊數元素的邏輯大小順序不容改變。即對于任意的i,j,k=1,2,…,n,應當滿足

(2)

否則令人難以接受。

為此，下面首先給出相容性定義，然后基于相容性將給出一種新的滿意一致性定義和判定定理。

比如兩個梯形模糊數(1,3,5,7)與(2,4,6,8)是相容的，因為[1,3]∩[2,4]=[2,3]≠φ和[3,5]∩[4,6]=[4,5]≠φ及[5,7]∩[6,8]=[6,7]≠φ。而(1,2,3,4)與(4,5,6,7)是不相容的，因為[1,2]∩[4,5]=φ。

注4 定義7包括兩層含義：

所以，由定義7可得出如下定理：

(3)

(4)

(5)

根據定義7該定理結論顯然成立，在此略證。

由定理1中(3)—(5)可以看出定義7隱含著梯形模糊判斷中保持著元素的邏輯順序，雖然沒有明確的數值指標，但給出了明確的定性的順序約束條件。一般情況下，一個梯形模糊互反判斷起碼滿足定理1的三個條件才能令人接受，因此該定理可以作為檢驗滿意一致性的判定定理。

證明：必要性是顯然的。

此表明，當A的上三角元素滿足滿意的一致性判定定理的條件時，下三角元素也同樣滿足。

由定理2可知，在檢驗滿意一致性時，只需要驗證矩陣A中的上三角元素即可。

注5 當檢驗TFRJM不具有滿意的一致性時，只要找到一個不滿足(3)或(4)或(5)的元素即可。關于三角模糊互反判斷矩陣以及區間數互反判斷矩陣的一致性定義和判定定理可類似給出。

下面僅給出三角模糊互反判斷矩陣的滿意一致性的定義、判定定理,關于區間數互反判斷矩陣的滿意一致性的定義、判定定理可參看文獻[2]。

(6)

注6 以上理論方法同樣適合于區間數互反判斷矩陣的一致性問題[2]，所以本研究把三種互反判斷矩陣的一致性問題統一起來。

5 示 例

例1設有2個梯形模糊互反判斷矩陣如下：

根據定理2， 經過計算A1中所有上三角元素都滿足不等式(3)—(5)，所以矩陣A1具有滿意的一致性；而對于A2經計算可知：

為了進一步比較，同時也為了給出此法對三角模糊互反判斷的應用，參看下例。

例2 下面2個三角模糊互反判斷矩陣

結果比較分析：

本文的理論根據就是一致性的傳遞結果具有相容性，即至少滿足條件(2)，如果不滿足條件(2)而被接受可認為該判定方法是不合適的。就目前來看，文獻[19]的方法是簡單可行的，下面把本方法同文獻[19]中的方法進行比較。

例1中A1和A2是兩個梯形模糊互反判斷矩陣，例2中A3和A4是兩個三角模糊互反判斷矩陣。使用文獻[19]中的方法檢驗結果顯示A1、A2、A3和A4都具有滿意的一致性。而使用本方法檢驗結果顯示A1和A3具有滿意的一致性，A2和A4不具有滿意的一致性，即A2和A4不滿足本方法的必要條件(2)。這說明在對A1和A3檢驗時,本方法與文獻[19]中的方法具有相同的效力，而在對A2和A4檢驗時，結果是不同的，也就是說使用文獻[19]中的方法，存在不滿足邏輯順序(2)的條件下可以接受的情況。究其原因，我們發現文獻[19]中的方法僅使用幾何平均法卻忽視了模糊數的分散性，所以在檢驗時一致性容易滿足。因此可以認為文獻[19]中的方法分辨力較弱，而本方法可認為是一種改進。

6 結束語

本文對梯形模糊互反判斷矩陣的一致性進行了詳細討論，并針對梯形模糊互反判斷提出了滿意一致性的定義和判定定理。該方法把梯形模糊互反判斷矩陣、三角模糊互反判斷矩陣和區間數互反判斷矩陣統一起來，給出了一種形式相似的滿意一致性定義和判定定理，克服了以往借用Saaty方法的約束和有限判斷的不嚴謹性，既簡單又實用。最后通過例子顯示了該方法的可行性和有效性。本文僅僅考慮了一致性問題，關于方案權重計算的研究將是我們下一步的研究課題。