一道基本不等式練習題的解法與賞析

◎鮑紅志

(天津市武清區南蔡村中學，天津 301709)

“基本不等式”是從現實問題和實際問題中抽象出來的一個模型，是培養學生“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象和數學運算”等數學核心素養的極好素材

高中數學學習評價關注學生知識技能的掌握，更關注數學學科核心素養的形成和發展，制訂科學合理的學業質量要求，促進學生在不同學習階段數學學科核心素養水平的達成基本不等式作為求最值的一個重要的數學工具，運用起來非常方便我們在運用基本不等式的時候，一定不能疏忽“一正、二定、三相等”的基本要求在實際運用解決數學問題的時候，依據已知條件，難點是把代數式配湊成基本不等式的加法或者乘法的形式，把構建通過相加或者相乘運算出現定值作為基本方向本文通過一道題目，多角度巧妙運用“1”，充滿了趣味性，也彰顯了數學中“一題多解”的魅力每一道變式題目，都可以運用其他的“1”代換去解題依托基本不等式及已知條件，分析及解決問題的過程可以很好地培養學生的數學建模及邏輯推理的數學核心素養

高中數學中不缺乏好的題目一道好的題目，不僅可以讓人耳目一新，同時讓人愛不釋手一道好的題目，不僅可以傳授知識和方法，也可以培養學生的數學核心素養一道好的題目，不僅可以展示數學知識的“萬般變化、緊密聯系”，同時可以展現數學的“自然”之美一道好題總會給人留下很大的拓展空間，讓你產生無盡的遐想

【解法1】 整體“1”代換

因為+=1，

【啟迪】形如：

這類問題求最值可以選擇整體“1”代換其核心是“任何數(或者代數式)乘以1，還等于其本身”

【解法2】 直接“1”代換

因為+=1，

【啟迪】 形如：

【解法3】 通分“1”代換

比較已知條件和所求代數式，如果對所求代數式進行通分處理，分子就是+，這樣可以直接替換成1只需要求出分母的最大值即可由于,均為正數，它們的和+為定值1，并且當且僅當=時，等號成立可以利用基本不等式求的最大值解析過程如下：

則≥4

由解法3的啟示，對所求代數式進行通分整理，分子就是4+6，恰恰是2+3的2倍這樣可以直接替換成1只需要求出分母的最大值即可需要注意的是正負號的問題及不等號方向的問題解析過程如下：

由于,都是正數，則2>0,3>0

整理，得≤-48

【啟迪】形如：

【解法4】已知條件巧用“1”

由解法3，可以聯想到，已知條件滿足基本不等式的使用條件，可以求出的最大值所求代數式通分整理，利用不等式性質，就可以求出的最小值解析過程如下：

由于,都是正數，根據基本不等式，

即≥4

由解法4，已知條件2+3滿足基本不等式的使用條件，可以求出的最大值所求代數式通分整理，利用不等式性質，就可以求出的最小值解析過程如下：

由于,都是正數，則2>0,3>0

整理，即≥48

【啟迪】形如：

課標用“經歷(感受)、體驗(體會)、探究”等刻畫課堂教學活動細節的動詞，概括了課堂教學中落實過程目標與方法目標的重要途徑“過程與方法”是認知的杠桿，從“經歷、體驗到探究”，是“實踐、認識、再實踐、再認識”的循序漸進的過程，我們要將學生推到主動參與的位置，讓他們經歷這樣的探索過程，才能提高他們的思維能力，同時培養他們的數學核心素養由此可見，數學學習的過程既是學生暴露思維活動、產生各種疑問的過程，也是他們在實踐活動中經歷、體驗、探究知識、發展個性特長的過程

學習活動中，學生若不親身經歷一系列的觀察、比較、分析、抽象、概括等數學認知活動，不經歷多種觀點的碰撞和爭論，就難以獲得基本不等式的各種證明方法如何讓學生掌握證明方法，進而讓學生真正理解其本質，應該從學生“最近發展區”——比較法開始讓學生體驗尋找數學規律的心路歷程，體會數學思想方法，發展邏輯推理素養

對于高中生而言，老師在課堂教學活動中，如果能讓學生更多地獲得成功，更多地用平常心對待問題，心平氣和地積極解決問題，有信心并能從容地面對學習和生活，才是我們教育教學的最好的意義所在，也是新時代教育的最高精神的體現由此可見，課堂教學的意義是非常重要的一堂好課，可以讓人有收獲感，可以讓人心情愉悅；一堂好課，不僅可以讓學生收獲知識，還可以培養學生的核心素養；一堂好課，不是簡簡單單就能展示出來的，而是需要我們精雕細琢

課堂生成是預設的升華，是學生學習的頓悟但由于學生的年齡特點，在認知水平上有一定的局限性，課堂生成難免存在一定的偏頗和缺陷，這就需要教師引領和點撥對于創意的生成性資源，教師應適時調整預設方案，實現課堂教學活動的動態生成對于單一的生成性資源，教師可以通過追問的方式讓學生的思維活躍起來對于存在偏頗的生成性資源，教師應因勢利導，通過討論、反思、糾錯等方式引領學生回歸正確的軌道，走向生成性課堂教學的新境界