積分的計算及其應用探討

◎呂 軍 阿布力米提·孜克力亞 庫福立

(新疆農(nóng)業(yè)大學數(shù)理學院，新疆 烏魯木齊 830052)

一、引 言

《高等數(shù)學(上、下)》研究的主要問題就是函數(shù)的基本形態(tài)和相關性質，高等數(shù)學上冊主要介紹的是一元函數(shù)的微分學和積分學，而下冊則主要介紹了多元(二元)函數(shù)的微分學和積分學兩方面內容，而(不)定積分作為函數(shù)積分問題的開端，如何能夠讓學生更加深刻地理解及深入的掌握就顯得至關重要，特別是對于理工類高校的學生，(不)定積分在其自身專業(yè)課的學習中應用較廣，本文旨在學生掌握基本積分的計算方法的基礎上，提供若干的技巧和方法，并給出相關的應用，從而提高學生的學習能力和利用所學解決實際問題的能力

二、積分計算方法與技巧

(一)湊微分法

1 設()具有原函數(shù)，=()可導，則有換元公式：

令=3+2,則有

(二)第二類換元法

注：第二類換元法主要分為以下四類：

1三角代換

當被積函數(shù)中含有

2倒代換

3根式代換

4指數(shù)代換

(三)分部積分法

積分類型u,dv的選擇1∫Pn(x)ekxdxu=Pn(x),dv=ekxdx2∫Pn(x)sin (ax+b)dxu=Pn(x),dv=sin (ax+b)dx3∫Pn(x)cos (ax+b)dxu=Pn(x),dv=cos (ax+b)dx4∫Pn(x)ln xdxu=ln x,dv=Pn(x)dx5∫Pn(x)arcsin(ax+b)dxu=arcsin (ax+b),dv=Pn(x)dx6∫Pn(x)arccos (ax+b)dxu=arccos (ax+b),dv=Pn(x)dx7∫Pn(x)arctan(ax+b)dxu=arctan(ax+b),dv=Pn(x)dx8∫ekxsin (ax+b)dxu,dv 可任選其一9∫ekxcos (ax+b)dxu,dv 可任選其一

(四)添項法

添項法是在計算不定積分時常用的一種方法，一般是根據(jù)被積函數(shù)的特點進行加減添項或是乘除添項

通過觀察∵(e)′=e，對被積函數(shù)分子分母同時乘e，則有

=-ln(e+1)+

(五)二次循環(huán)法

直接連續(xù)利用兩次分部積分公式

移項、化簡后可得

(六)待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是一種重要的數(shù)學方法，通過引入一些待定的參數(shù)，對不定積分進行求導，進而比較同類項的系數(shù)，從而轉化為求解相應方程組的一種求解方法，待定系數(shù)法的好處在于可將比較復雜的不定積分求解簡易化，降低求解不定積分的難度

(七)利用留數(shù)定理

其中，(=1,2,…,)為包含在||=1內的()的奇點

(八)變量代換法

當遇到被積函數(shù)是無理函數(shù)時，我們常常會利用變量代換法，其代換的主要目的就是能去掉被積函數(shù)中的根號，從而達到簡化計算的目的，具體有以下幾種類型，見下表：

被積函數(shù)形式相應的變量代換1∫Rx,n1ax+bcx+d,n2ax+bcx+d,…(nkax+bcx+d)dxtN=ax+bcx+d,N=lcm(n1,n2,…,nk)2∫R(a+x,x+b)dxa+x=b-asht3∫R(a-x,b-x)dxa-x=b-atan t4∫R(x-a,b-x)dxx-a=b-asin t5∫R(x-a,x-b)dxx-a=b-asec t

(九)部分分式展開法

我們知道任何一個多項式可以分解成若干個一次因式和二次因式的乘積因此，任何一個有理真函數(shù)必定可以表示成若干個部分分式之和

如果()是的實系數(shù)有理真分式，即下式中的<，則()一定可以寫成：

值得注意的是，要用部分分式展開方法，首先要求解分母()=0的根，稱為()的極點

首先將被積函數(shù)展開成部分分式的形式，令：

則由待定系數(shù)法可知：=2,=-3,=1

=2ln||-3ln|+1|+ln|+2|+

三、定積分的應用

積分的幾何應用主要有以下幾種：(1)利用積分可以求平面圖形的面積(2)利用積分可以求空間立體的體積(3)利用積分可以求解曲線的弧長(4)利用積分可以求旋轉曲面的面積具體如下：

(一)平面圖形的面積

(1)若平面圖形是由上、下兩條曲線=(),=()(()≤())與直線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(2)若平面圖形是由左、右兩條曲線=(),=()(()≤())與直線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(3)若平面圖形是由極坐標下的兩條曲線=(),=()(()≤())與射線=,=(<)所圍成的，則的面積為：

(二)空間立體的體積

(1)設立體Ω介于兩個平面=,=(<)之間，?∈[,]，過點作平面垂直于軸，則該平面與立體Ω的截面為可求的連續(xù)函數(shù)()，則立體Ω的體積為

(2)平面圖形:{(,)|()≤≤(),≤≤}繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為

(3)平面圖形:{(,)|()≤≤(),<<,≥0}繞軸旋轉一周所得的旋轉體的體積為

9一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心并與底面交成角為，計算這個平面截圓柱所得立體的體積

如圖所示

取平面與圓柱體的底面的交線為軸,底面上過圓心且垂直于軸的直線為軸,那么底圓的方程為+=

(三)平面曲線的弧長

(1)平面曲線的方程為=() (≤≤)，若()連續(xù)可導，則曲線的弧長為

(2)平面曲線的參數(shù)方程為=(),=() (≤≤)，若(),()均連續(xù)可導，則曲線的弧長為

(3)平面曲線的極坐標方程為=()(≤≤)，若()連續(xù)可導，則曲線的弧長為

綜上，給出了求解積分的幾種常用的方法和技巧，并一一舉例，同時也給出了積分的幾種常見的幾何應用目的是幫助學生更好地去歸納和總結，熟練掌握積分的求解，并能夠將其應用到實際生活