新高考背景下的一個高中數學教學案例
——拋物線的簡單幾何性質(第一課時)

◎叢文娟

(新安中學集團高中部,廣東 深圳 518101)

一、引 言

新高考背景下，知識的傳授不應當局限于知識本身，應當在教學過程中，始終以提高學生能力和素養為目標本節教學設計中，數形結合的思想貫穿始終，讓學生從“形”的角度直觀感受，從“數”的角度進行驗證，有助于提高學生的邏輯推理能力、直觀想象能力、數學運算能力等核心素養

二、教學目標

1掌握拋物線的簡單幾何性質：范圍、對稱性、頂點、離心率

2能根據拋物線的幾何性質對拋物線方程進行討論

3對通徑、焦半徑公式進行初步探索

4進一步理解數形結合思想在解析幾何中的應用

三、教學重難點

1教學重點：拋物線的簡單幾何性質、利用拋物線的幾何性質求方程、對通徑與焦半徑公式的初步探究

2教學難點：利用數形結合思想對通徑、焦半徑公式進行探究

四、教學過程

1利用數形結合思想探究拋物線的簡單幾何性質

11 知識回顧，溫故知新

【學生活動】學生完成學案內容，對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標、準線方程等進行復習

圖形方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦點p2,0()-p2,0()0,p2()0,-p2()準線x=-p2x=p2y=-p2y=p2

【設計意圖】之前學過橢圓、雙曲線的幾何性質，都是通過圖形和方程兩方面進行研究的，因此引導學生對拋物線的四種方程、圖形、焦點坐標、準線方程進行復習，有利于進一步探索拋物線的性質

12 數形結合，類比探究

1類比用標準方程研究橢圓、雙曲線幾何性質的過程與方法，思考：我們要研究拋物線的哪些幾何性質？如何研究這些性質？

前面學習了橢圓、雙曲線的范圍、對稱性、頂點和離心率，在雙曲線中還學習了漸近線，我們是通過“數”和“形”兩方面對橢圓、雙曲線的幾何性質進行探究的

【設計意圖】類比橢圓、雙曲線幾何性質的研究思路，為接下來用數形結合法研究拋物線的幾何性質做鋪墊

2觀察圖1，你能發現拋物線橫、縱坐標的取值范圍嗎？

圖1

通過觀察圖形，學生很容易得到開口向右的拋物線的橫、縱坐標的取值范圍，即為≥0,∈

3從數的角度，也就是從拋物線方程的角度，怎樣得到拋物線的橫、縱坐標的取值范圍呢？

在方程=2,>0中，并無限制，因此∈因為2=≥0，且>0，所以≥0

【設計意圖】讓學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的取值范圍

4觀察圖2，拋物線有幾條對稱軸？是否有對稱中心？

圖2

觀察圖形，容易發現開口向右的拋物線關于軸對稱，沒有對稱中心

5從“數”的角度，怎樣說明拋物線=2,>0的圖像關于軸對稱？

要說明拋物線的圖像關于軸對稱，只需要在拋物線上任取一點(,)，說明(,)關于軸的對稱點′(,-)也在拋物線上即可

【設計意圖】引導學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的對稱性

6根據圖3，你能寫出拋物線的頂點坐標嗎？

圖3

(0,0)

7從“數”的角度，如何從方程中得到拋物線的頂點？

在拋物線方程中，=2,>0，令=0，得到=0

【設計意圖】引導學生從“數”和“形”兩個角度探索拋物線的頂點

給出拋物線離心率的定義，并根據拋物線的定義得出離心率為1

此時，繼續引導學生復習橢圓和雙曲線的定義和取值范圍

13 適時歸納，總結提升

①(范圍)拋物線只位于半個坐標平面內

②(對稱性)拋物線只有1條對稱軸,沒有對稱中心

③(頂點)拋物線只有1個頂點、1個焦點、1條準線

④(離心率)拋物線的離心率是確定值1

2一題多變，一題多解，學以致用

【設計意圖】例題1和變式訓練都是對拋物線性質的初步應用，進一步強化待定系數法求拋物線方程的訓練

2斜率為1的直線經過拋物線=4的焦點，且與拋物線交于,兩點，求線段的長

方法1：聯立直線和拋物線方程，求出,兩點的坐標，利用兩點間距離公式求出的長

方法2：利用拋物線的定義，將焦點弦的長度轉化為兩個焦半徑的長度,可以利用方法1求出,，也可使用韋達定理

||=||+||=(+1)+(+1)=++2

【設計意圖】引導學生多角度思考，培養學生的邏輯思維能力，為接下來探索焦半徑和通徑公式做鋪墊

8連接拋物線上一點與焦點的線段叫作拋物線的焦點弦根據例題2的方法2，你能否得到拋物線的焦點弦公式？

9你能否總結出另外三種拋物線的焦半徑公式？

10有一種特殊的焦點弦，它垂直于拋物線的對稱軸，這種焦點弦叫作通徑你能根據焦半徑公式求出通徑的長度嗎？

通徑||=2

【設計意圖】引導學生對焦半徑公式、通徑進行提煉與總結

3深入思考，思維升華

1雙曲線的開口大小由離心率來衡量，那么拋物線的開口大小怎樣確定呢？

通徑越長，開口越大

【設計意圖】類比雙曲線，引導學生利用通徑對拋物線的形狀進一步探索

2通徑是一類特殊的焦點弦，那么通徑是拋物線最短的焦點弦嗎？

【設計意圖】思考2由特殊抽象到一般，為下一節課進一步探索拋物線的焦點弦問題埋下伏筆在下節課中，將采用更為多樣的方法求證“通徑就是拋物線最短的焦點弦”

4小組活動，總結提升

【小組活動】小組合作，探究另外三種拋物線的幾何性質

標準方程圖形焦點準線范圍頂點對稱軸離心率焦半徑通徑y2=2px(p>0)p2,0()x=-p2x≥0y∈Ry2=-2px(p>0)-p2,0()x=p2x≤0y∈Rx2=2py(p>0)0,p2()y=-p2y≥0x∈Rx2=-2py(p>0)0,-p2()y=p2y≤0x∈R(0,0)x軸y軸e=1x1+p2-x1+p2y1+p2-y1+p22p

【設計意圖】引導學生利用數形結合思想對其他三種拋物線進行探究

總結課堂內容并提出思考：你還有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？

【設計意圖】(1)梳理本節內容，提煉方法

(2)為下節課繼續探究焦點弦問題埋下伏筆

四、課后作業

(1)《數學選修2-1》第136頁課后習題

(2)思考：你還有幾種方法說明“通徑就是拋物線最短的焦點弦”？

本節課作為一節真實課例(40分鐘)，將數形結合思想貫穿始終，采用小組合作探究、問題串等形式，讓課堂充滿活力，從而提高學生的核心素養課堂最后，“通徑是否為拋物線最短的焦點弦”這個問題拋磚引玉，為下節課繼續研究拋物線的焦點弦問題埋下伏筆