抓圖形對稱顯互逆本質，借知識類比促能力遷移
——“對數函數及其性質”教學設計

◎張麗麗

(深圳市坪山高級中學，廣東 深圳 518000)

一、教學設計思想

本節課通過互化，學生從形式上理解指數函數與對數函數的關系；通過作圖和對折，學生從實質上理解指數函數與對數函數之間的轉化關系通過復習回顧指數函數的相關性質，借助指數函數與對數函數的相互轉化關系，類比、總結、歸納對數函數的性質，培養學生知識遷移的能力

二、教學分析

1教材分析

函數是高中重要的知識模塊，“對數函數及其性質”是高中數學函數知識中的一個重點內容，也是在解決實際問題時常見的一種函數模型通過學習指數函數與對數函數的概念，培養學生樹立對立統一、相互聯系、相互轉化的數學思維通過對知識進行遷移，培養學生類比推理、遷移知識的基本數學能力

2學情分析

學習本節課之前，學生已經學過了函數的基本概念和性質，掌握了一定的學習函數的基礎知識，為后面深入學習和研究基本初等函數及其性質夯實了基礎在前面的學習中，學生通過學習具體的指數式和指數函數，儲備了研究函數概念和模型的一些基本方法和步驟；又通過學習對數與對數的運算，了解了指數式和對數式之間相互轉化的關系，從而為本節課“對數函數及其性質”的學習提供了基本的知識儲備

三、教學目標

【知識與技能】

1理解對數函數的定義，掌握對數函數的圖像和性質；

2能運用圖像和性質解決有關求定義域、比較大小、過定點等問題

【過程與方法】

1經歷指數函數與對數函數關系探究的過程，體會通過互化從形式上理解指數函數與對數函數的關系，通過作圖和對折從本質上理解指數函數與對數函數之間的轉化關系，掌握從特殊到一般、數形結合的數學思想；

2通過指數函數概念和性質的學習，類比對數函數的概念和性質的學習，培養類比、分析、歸納推理能力

【情感態度與價值觀】

1通過指對關系的學習，樹立相互聯系、相互轉化的觀點，培養學生的探究意識和進取精神；

2通過指數函數相關知識的遷移，感受理論與實踐的統一，培養嚴謹的思維品質

四、教學重點

1對數函數概念形成的過程；

2指數函數與對數函數之間關系的理解；

3對數函數性質的形成過程及靈活運用

五、教學流程

六、教學過程

環節1：情境引入

引例1：《指數、對數、冪函數詩》

晨霧茫茫礙交通，蘑菇核云蔽長空；

化石歲月巧推算，文海索句快如風；

指數對數相輝映，立方平方看對稱；

解釋大千無限事，三族函數建奇功

【設計意圖】詩歌引入，形式新穎，易于引起學生注意，激發探究的欲望通過這首函數詩，帶領學生感受函數在不同形態下的別樣魅力

環節2：對數函數的概念

1引例探索

引例2：將下列指數式化成對數式

思考1：①②是指數式，對應的是對數式；③④是具體的指數函數，其對應互化后的函數是具體的對數函數嗎？⑤是一般形式的指數函數，其對應的函數是一般形式的對數函數嗎？若不是，又該如何化成對數函數？

【設計意圖】具體和一般形式的指對互化，通過類比進行知識遷移

2形成概念

類比指數函數的概念，總結對數函數的概念

指數函數的定義對數函數的定義一般地,形如y=ax(a>0,且a≠1)叫作指數函數.一般地,形如y=logax(a>0,且a≠1)叫作對數函數定義域:x∈R定義域:x∈(0,+∞)值域:y∈R

【設計意圖】類比指數函數，探究對數函數的概念

3概念辨析

引例3：判斷下列函數是否是對數函數

(1)=2log;

(2)=log+1;

(3)=log(2+1);

(4)=log3;

(5)=log

變式：若函數=(-3+3)log是對數函數，求的值

【設計意圖】通過典例強化對對數函數概念的內涵和外延的理解，通過變式訓練加強鞏固

環節3：指數函數與對數函數的關系

1分析與驗證

思考2：觀察下列變化過程，

【設計意圖】通過互化，引導學生從形式上感受指數函數轉化為對數函數的本質，即通過自變量與函數值之間的對調，得到對數函數形式，從而在本質上進一步理解指數函數和對數函數互逆的本質特征

【設計意圖】通過在網格紙上描出上升和下降型的兩個指數函數圖像上的幾個具體的點，再描出它們關于=對稱的點，再進一步將點連接形成圖形，從而得到相應對數函數的圖像主要從數據特征方面去理解指數函數與對數函數互逆的本質特征，達到對知識深刻的理解

2探索與總結

思考4：動手折疊，探索所畫圖形具有怎樣的對稱性？

【總結】通過找對稱點、動手作圖、折紙探索，發現指數函數與對數函數圖像對稱關系的本質知道具有這種對稱關系的函數互為反函數

【設計意圖】透過表象看本質，引導學生深入探究問題的本質通過動手作圖，折紙驗證猜想，培養學生的探究欲望和實踐能力

環節4：對數函數的性質及應用

1性質探究

復習指數函數的有關性質，類比歸納總結對數函數的性質，完成下面的表格：

函數y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)圖像0101定義域值域過定點單調性關鍵點漸近線

2性質運用

引例4：求下列函數的定義域

(1)=log(4-)；

引例5：函數=log(-1)+2 (>0,且≠1)的圖像恒過定點

引例6：比較下列各題中函數值的大小

(1)log34和log85；

(2)log0318和log0327；

(3)log51和log59(>0,且≠1)；

(4)log3和logπ

變式：設=log2,=log2,=log3，則,,的大小關系為

【設計意圖】通過類比指數函數的圖像和性質，歸納對數函數的圖像和性質，有助于學生深刻把握指數函數和對數函數之間的關系

環節5：課堂小結

(1)通過本節課的學習，你學到了哪些知識？(知識)

(2)在本節課的學習中，你用到了哪些思想方法？ (思想方法)

(3)通過本節課的學習，你的哪些能力得到了提升？(能力)

【設計意圖】通過問題式的總結與反思，促進學生對學習過程的概括和對已有知識的重組

七、教學反思

1設計有靈魂

(1)詩歌引入見奇效

本節課用函數詩進行引入，既從宏觀上展示了高中階段三大基本初等函數及其在生活中的應用，又在細節上描述了指數函數和對數函數間的關系，為后續借助指數函數來研究對數函數提供了方向，同時展示了數學的文化魅力和人文價值，有利于激發學生的學習興趣

(2)從特殊到一般

從學生熟悉的指數式和對數式的互化入手，符合教育學中的最近發展區理論，將特殊的指數式及指數函數式互化為相應的對數式，既有利于獲得學生的認同感，又加深學生對指、對關系的深入理解

(3) 類比充分記憶深

充分利用類比的方法，類比研究指數函數的模式研究對數函數，類比學習歸納指數函數的圖像和性質的方法，歸納總結對數函數的圖像和性質，既達到對本節課內容的理解，又鞏固深化了研究函數的基本模式和方法

(4)巧抓對稱特征，凸顯互逆本質

在完成具體的指數式和對數式互化后，通過作函數圖像(列表、描點、連線)，從圖形上理解指、對函數間的關系，抓住圖形對稱特征，深入理解指數函數與對數函數間對稱關系的本質

2方法有創新

(1)問題促思考

在指對互化式環節中，以提問的形式促進學生思考，既能快速抓住學生的注意力，又能引導學生學會思考、學會研究、學會領悟，有利于學科核心素養的培養

(2)動手實踐顯本質

通過列表、描點、連線作圖，動手折疊觀察圖形的對稱關系，學生體驗到發現的樂趣，培養學生實踐和探究的精神

3效果有檢測

總結得出對數函數的概念后，為了幫助學生理解定義式，教師設計了例題和變式，檢測學生對概念學習和理解的效果；類比指數函數的圖像和性質的學習，總結歸納出對數函數的圖像和性質后，要求學生學會換位思考，站在命題者的角度思考可供考查的知識點，通過設計配套的例題，檢測學生對性質的理解和靈活運用

4小結有層次

課堂小結從知識、思想方法和能力三個維度進行總結提煉，既幫助學生將本節課的內容進行了再次強化，又站在一定的高度思考，從而提升了學生的思維水平在能力提升方面，借助對數函數的學習，加強與前面所學知識間的聯系，對數函數與對數式是一般與特殊的關系，對數函數與指數函數既平行又相關，指數函數和對數函數又都是函數，當然符合函數的研究模式，在具體的知識點考察時又與第一章集合的運算緊密相連，從而達將高一目前所學的知識進行融會貫通的目的

對數函數及其性質是高中學習的一個難點又是一個重點，通過建立跟指數函數的關系，抓住圖形之間的對稱關系，闡明二者互逆的本質，即有利于幫助學生理解和掌握知識，又能夠培養學生類比遷移的能力