二次型理論對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用

◎李欣欣

(廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541006)

一、前言

德國教育家克萊因的著作《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》主張教師應(yīng)在“高觀點(diǎn)”的站位下審視中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容,學(xué)懂弄透數(shù)學(xué)網(wǎng)狀體系,指導(dǎo)學(xué)生了解各個(gè)學(xué)段所學(xué)的數(shù)學(xué)并非孤立的,而是相與為一的所謂“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”不是肆意忽視學(xué)生原有的認(rèn)知水平，直接將高等教育知識(shí)強(qiáng)行堆砌,而是將高等數(shù)學(xué)的思想和方法服務(wù)中學(xué)數(shù)學(xué)，這就要求職前教師在師范生階段要學(xué)好高等數(shù)學(xué),掌握知識(shí)體系的內(nèi)在邏輯,不僅要學(xué)習(xí)“高觀點(diǎn)”的“術(shù)”,還應(yīng)強(qiáng)化“道”的吸收,從而更好地推動(dòng)今后教師專業(yè)的發(fā)展反觀現(xiàn)實(shí),職前數(shù)學(xué)教師認(rèn)為高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)銜接性不強(qiáng),在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)存在敷衍應(yīng)付的情況但他們這種想法是錯(cuò)誤的,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是間斷的,而是有邏輯的、螺旋上升的,學(xué)好高等數(shù)學(xué)能對數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的把握更加到位,掌握的數(shù)學(xué)高觀點(diǎn)思想方法亦可以指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

高等數(shù)學(xué)中的二次型理論起源于幾何學(xué)中二次曲線方程和二次曲面方程化為標(biāo)準(zhǔn)型問題的研究,是矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用二次型可作為解決代數(shù)問題的著手點(diǎn),對中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)問題有極大地指導(dǎo)作用在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科中,多元函數(shù)求極值和最值、不等式證明、多項(xiàng)式因式分解、判別二次曲線形狀等問題可借助高等數(shù)學(xué)中二次型相關(guān)理論及性質(zhì)來優(yōu)化其解法鑒于此,本文在簡單介紹二次型理論及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上,厘清高等數(shù)學(xué)中二次型與初等數(shù)學(xué)代數(shù)等內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系,深化相關(guān)習(xí)題解法,助推職前數(shù)學(xué)教師更便捷、更高效、更實(shí)在地運(yùn)用二次型解決中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn),將二次型應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

二、二次型的基本定義

2(,,…,)=都可由任一元二次型(,,…,)唯一地轉(zhuǎn)換表示,這里的=(,,…,),且二次型(,,…,)的矩陣是對稱的,(,,…,)的秩也叫的秩

三、二次型在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

(一)相關(guān)定理

1若是函數(shù)()在某穩(wěn)定點(diǎn)處的何塞(Hesse)矩陣,有：

(1)當(dāng)正定時(shí),()在處取得極小值；

(2)當(dāng)負(fù)定時(shí),()在處取得極大值；

(3)當(dāng)不定時(shí),()在處非極大值亦非極小值

注:當(dāng)是半定(半正定,半負(fù)定),()在處可能有極值,也可能沒有極值

同時(shí)有如下規(guī)律

1正定、半正定方面：

2負(fù)定、半負(fù)定方面：

3不定方面：

根據(jù)定理2，我們了解了判斷函數(shù)是否有極值、是有極大值還是極小值的一般方法

3當(dāng)一個(gè)實(shí)二次型的秩為2且符號(hào)差為0,或秩為1的情況時(shí),此實(shí)二次型便可分解成2個(gè)實(shí)一次齊次多項(xiàng)式的乘積

(二)求多元函數(shù)的極值

解此方程得穩(wěn)定點(diǎn)(-2,2,-2),命名為點(diǎn)

在點(diǎn)(-2,2,-2)處,對函數(shù)進(jìn)行二次偏導(dǎo),有

此時(shí)Hesse矩陣中的各階順序主子式的情況如下，

一階：|6|=6>0，

所以根據(jù)定理1可知,Hesse矩陣正定

又由引理1可知,有極小值,且在點(diǎn)(-2,2,-2)處取得到,經(jīng)過代入法算得,的極小值為(-2,2,-2)=-23

(三)求多元函數(shù)的最值

對于求二次函數(shù)的最值問題,我們可以根據(jù)該二次型矩陣的特征值來求,這種方法幫助我們化繁為簡

當(dāng)中學(xué)生沒有學(xué)到用二次型性質(zhì)求最值的問題解法時(shí),他們通常會(huì)用如下的方法解題

此時(shí)相當(dāng)于cos,相當(dāng)于sin所以(,)=(cos,sin)

()=cos+2sin+4cossin=1+sin+2sin 2,

由于cos 2=cos-sin=1-2sin,

′()=sin 2+4cos 2=0,即sin 2=-4cos 2

又因?yàn)閟in2+cos2=1,

現(xiàn)在我們來看第二種解法,依托二次型矩陣以及其對應(yīng)的特征值來解決

那么其對應(yīng)的特征多項(xiàng)式為

現(xiàn)求對應(yīng)的特征值,即令-3-2=0

(四)證明不等式

3求證9++3>2-4-2(其中,,是不全為零的實(shí)數(shù))

把不等式移項(xiàng),即需證9++3-2+4+2>0

令二次型(,,)=9++3-2+4+2,下證>0,即證為正定二次型

易知此二次型的矩陣為

因?yàn)榈母麟A順序主子式：

一階：|9|=9>0，

所以,根據(jù)定理1,知是正定的,故>0即有9++3>2-4-2成立,其中,,這些實(shí)數(shù)不全為零

(五)多項(xiàng)式因式分解

4把--2-1分解因式結(jié)果正確的是( A )

A.(++1)(--1)

B.(+-1)(--1)

C.(+-1)(++1)

D.(-+1)(++1)

中學(xué)生的普遍做法是把選項(xiàng)一一展開計(jì)算后,對比原式,選出答案現(xiàn)用二次型的性質(zhì)解決此問題,首先我們判斷該二次型可否分解,如果可以則進(jìn)行分解

令(,)=--2-1,(,,)=--2-

那么就有關(guān)系式(,)=(,,1)成立,

下面考慮(,,)=--2-的秩和符號(hào)差,

首先對(,,)=--2-作非線性替換，

(六)判斷二次曲線的形狀

5化簡++7-8-+15=0,如它是一個(gè)封閉圖形,計(jì)算其面積

令(,)=++7-8-+15

現(xiàn)令(,,)=++7-8-+15

那么,(,)=(,,1)

現(xiàn)對(,,)進(jìn)行非線性替換

四、結(jié)束語

本文歸納總結(jié)了二次型理論及其性質(zhì)對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用,主要涉及求多元函數(shù)的極值與最值、證明不等式、分解因式、判斷二次曲線的形狀等內(nèi)容,以期為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考與靈感其實(shí)在中學(xué)課堂上,并非所有相關(guān)類型題都適合用高等數(shù)學(xué)中的“二次型”思想來解決,我們要依據(jù)學(xué)情而定但是，我們由此可以知道,初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)是一脈相承、蘊(yùn)含邏輯關(guān)系的知識(shí)體系

職前數(shù)學(xué)教師接受高等數(shù)學(xué)知識(shí)，其意義不是為了考試通關(guān),而是致力于提升未來數(shù)學(xué)教師的專業(yè)理論知識(shí)及數(shù)學(xué)素養(yǎng),能用“高觀點(diǎn)”思想來指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與科研工作,因此，助推職前數(shù)學(xué)教師注重高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的銜接非常有必要在遇到一些用中學(xué)思想較難解決的習(xí)題時(shí),中學(xué)數(shù)學(xué)教師可選取合適的“高觀點(diǎn)”內(nèi)容合理銜接高等知識(shí)與初等知識(shí),在學(xué)生能理解的難度變化范圍內(nèi),讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的奇妙