基于威布爾分布的谷物干燥機(jī)可靠性分析*

文昌俊,陳 哲,徐云飛,邵明穎,左學(xué)謙

(1.湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,湖北 武漢 430068;2.湖北省現(xiàn)代制造質(zhì)量工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,湖北 武漢 430068)

0 引 言

在眾多的農(nóng)業(yè)機(jī)械設(shè)備中,谷物干燥機(jī)的應(yīng)用較為廣泛。作為一種重要的糧食貯存設(shè)備,谷物干燥機(jī)一旦在作業(yè)季出現(xiàn)故障頻發(fā)的情況,就會(huì)導(dǎo)致谷類儲(chǔ)存過程中產(chǎn)生大量直接或間接的糧食損失。因此,保證谷物干燥機(jī)的平穩(wěn)、無故障運(yùn)行,提高其生產(chǎn)效率,并減少其生產(chǎn)損失,其意義重大。

迄今為止,國內(nèi)大部分行業(yè)依舊延用傳統(tǒng)的后期維護(hù)或定期維護(hù)的方案,頻繁出現(xiàn)“維護(hù)不足”或“維護(hù)過度”的現(xiàn)象[1，2],因此造成了巨大的資源浪費(fèi)。在這種情況下,預(yù)防性維修的策略逐漸得到了應(yīng)用,而可靠性分析在預(yù)防性維修中又起著十分重要的作用。

目前,在農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品上的可靠性分析與評(píng)價(jià)理論還不夠完善。盡管有關(guān)于針對(duì)電子設(shè)備類產(chǎn)品的安全性研究已經(jīng)比較完善,但由于農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品和電子設(shè)備之間存在著很大的差異,無法將針對(duì)電子設(shè)備類產(chǎn)品的安全性研究成果充分應(yīng)用到農(nóng)業(yè)機(jī)械產(chǎn)品的可靠性分析與評(píng)價(jià)上來。

穆艷等人[3]在對(duì)真空斷路器進(jìn)行可靠性分析過程中,利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立了威布爾分布模型,并用Mann檢驗(yàn)法驗(yàn)證了模型,得到了模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)和斷路器的平均壽命。王亞菲等人[4]在針對(duì)汽車壽命估計(jì)方法的研究中,在進(jìn)行威布爾參數(shù)估計(jì)時(shí),對(duì)分別采用極大似然估計(jì)法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,證明了該方法的適用性。在對(duì)城軌計(jì)軸設(shè)備進(jìn)行可靠性評(píng)估研究過程中,牛儒等人[5]以現(xiàn)場(chǎng)的真實(shí)數(shù)據(jù)為出發(fā)點(diǎn),確定了城軌計(jì)軸設(shè)備失效率的概率分布。孫擴(kuò)等人[6]基于飛機(jī)歷年的故障數(shù)據(jù),建立了其三參數(shù)威布爾模型,對(duì)該型飛機(jī)進(jìn)行了故障預(yù)測(cè),并對(duì)模型和預(yù)測(cè)方法的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證。

然而在上述研究中,研究人員在選擇模型時(shí)沒有進(jìn)行模型先驗(yàn),或者在進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)沒有進(jìn)行參數(shù)估計(jì)方法的對(duì)比,故都影響了其分布模型的選擇,或?qū)е缕鋮?shù)估計(jì)精確度不高,從而影響分析結(jié)果的有效性和準(zhǔn)確性。

因此,為了提高谷物干燥機(jī)的使用壽命,減少故障維修次數(shù),筆者運(yùn)用可靠性分析理論對(duì)其使用壽命進(jìn)行分析研究。

筆者依據(jù)歷史維修數(shù)據(jù)獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù),并進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理,即首先利用圖形法先驗(yàn)?zāi)Ｐ?然后利用點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性判別準(zhǔn)則選擇合適的參數(shù)估計(jì)方法,隨后檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?建立谷物干燥機(jī)的可靠性模型,并計(jì)算得到谷物干燥機(jī)的可靠性指標(biāo)和平均故障間隔時(shí)間。

1 威布爾分布與檢驗(yàn)方法

筆者針對(duì)谷物干燥機(jī)的故障數(shù)據(jù)展開研究,首先整理谷物干燥機(jī)的相關(guān)維修記錄,利用概率統(tǒng)計(jì)理論分析結(jié)果,得出谷物干燥機(jī)的故障間隔時(shí)間,得到威布爾概率圖,擬確定使用威布爾分布來對(duì)這列數(shù)據(jù)進(jìn)行建模,隨后利用最小二乘法和極大似然估計(jì)分別對(duì)威布爾參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,比較得出最優(yōu)的參數(shù)值,最后利用K-S檢驗(yàn)法確定模型的合理性。

1.1 威布爾分布

機(jī)械產(chǎn)品常用的壽命分布主要有威布爾分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。其中,威布爾分布為近年來在設(shè)備壽命可靠性分析中使用最普遍的模型之一,其形狀參數(shù)取值范圍能夠整體描述出“浴盆”曲線的各個(gè)階段。

威布爾分布的機(jī)理是根據(jù)故障的壽命數(shù)據(jù)研究機(jī)械產(chǎn)品的壽命與其可靠度之間的關(guān)系。威布爾分布有二參數(shù)和三參數(shù)兩種形式。當(dāng)其位置參數(shù)γ≠0時(shí),為三參數(shù)威布爾分布;反之,當(dāng)γ=0時(shí),則該分布為二參數(shù)威布爾分布。

谷物干燥機(jī)的故障間隔時(shí)間符合威布爾分布模型,模型隨機(jī)變量為干燥機(jī)壽命t,由于干燥機(jī)在零小時(shí)內(nèi)開始運(yùn)行,故障是隨機(jī)的,可能從任務(wù)開始就發(fā)生,因此,干燥機(jī)的威布爾模型的位置參數(shù)為零,即γ=0。

綜上所述,可得干燥機(jī)的壽命模型為二參數(shù)威布爾分布,則相應(yīng)的故障概率密度函數(shù)、故障概率分布函數(shù)和可靠度函數(shù)分別為:

(1)

(2)

(3)

式中:m—形狀參數(shù);η—尺度參數(shù)。

當(dāng)m不變時(shí),η值不同時(shí)概率密度曲線的高度和寬度均不相同;m為形狀參數(shù),根據(jù)m值的不斷變化,其故障概率密度曲線、故障概率分布曲線和可靠度曲線都會(huì)隨之變化。

其中,當(dāng)m<1時(shí),f(t)的曲線隨時(shí)間單調(diào)下降,對(duì)應(yīng)“浴盆”曲線的早期失效階段;當(dāng)m=1,f(t)曲線對(duì)應(yīng)“浴盆”曲線的隨機(jī)失效階段,此時(shí)曲線類似于指數(shù)分布;當(dāng)m>1時(shí),f(t)曲線對(duì)應(yīng)“浴盆”曲線的耗損失效階段。

1.2 K-S檢驗(yàn)法

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,選擇正確的統(tǒng)計(jì)方法至關(guān)重要[7-9],它決定最后結(jié)果的正確與否。常用的檢驗(yàn)樣本分布類型[10]的方法為K-S檢驗(yàn)法和χ2檢驗(yàn)。其中,K-S檢驗(yàn)法是一種可以不用根據(jù)數(shù)據(jù)的分布情況而進(jìn)行檢驗(yàn)的非參數(shù)檢驗(yàn)方法[11]。相比χ2檢驗(yàn)的使用條件,在不知道谷物干燥機(jī)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布情況下,顯然K-S檢驗(yàn)法更加適用且有效。

K-S檢驗(yàn)法可用來檢驗(yàn)一組樣本數(shù)據(jù)的分布與指定的某一理論分布之間的符合程度。

將假設(shè)的理論概率分布F(t)與樣本觀測(cè)值的累積分布函數(shù)F0(t)進(jìn)行比較,找出它們之間最大的差異點(diǎn),并參照抽樣分布,可以確定該差異是否處于偶然。

筆者設(shè)總體分布為F(t),F0(t)為已知的連續(xù)分布函數(shù),假設(shè)檢驗(yàn)問題H0為:F(t)=F0(t),則K-S檢驗(yàn)步驟如下:

(1)求解分段累積頻率:

(4)

式中:樣本量為n的樣本x1,x2,x3,…,xn—從小到大排列之后的樣本數(shù)據(jù);Fn(t)—經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)。

(2)計(jì)算樣本累積分布函數(shù)與理論概率分布的絕對(duì)差,令最大的絕對(duì)差為Dn,其表達(dá)式為:

(5)

若滿足式(5),則認(rèn)為接受假設(shè)H0;反之,則不接受。

2 參數(shù)估計(jì)及擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

2.1 數(shù)據(jù)處理與分析

此處,筆者以某企業(yè)作業(yè)季度的18臺(tái)某型號(hào)谷物干燥機(jī)歷史維修數(shù)據(jù)為例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

筆者共收集到194組故障數(shù)據(jù),經(jīng)過數(shù)據(jù)清洗整理剩下有效故障數(shù)據(jù)124組,將124組故障間隔時(shí)間按從小到大的順序排列后,如表1所示。

表1 谷物干燥機(jī)故障數(shù)據(jù)表

由于威布爾分布模型[12-13]具有較強(qiáng)的適應(yīng)性,而谷物干燥機(jī)的失效主要是由機(jī)械故障引起的,故筆者首先假設(shè)其符合威布爾分布,再通過MATLAB繪制出谷物干燥機(jī)的威布爾擬合效果圖,即威布爾概率圖(WPP)圖,如圖1所示。

圖1 谷物干燥機(jī)威布爾擬合效果圖

從圖1中可以看出:大部分?jǐn)?shù)據(jù)近似呈現(xiàn)一條直線分布,所以可以初步認(rèn)定該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布。

2.2 參數(shù)估計(jì)

在初步確認(rèn)數(shù)據(jù)服從于二參數(shù)威布爾分布后,筆者隨后進(jìn)行模型的參數(shù)估計(jì)。

為了保證谷物干燥機(jī)可靠性模型的準(zhǔn)確性與精確度,筆者分別采用最小二乘法和極大似然估計(jì)對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算,并通過對(duì)比得出其最優(yōu)的參數(shù)值。

2.2.1 最小二乘估計(jì)(LSM)

假設(shè)某型谷物干燥機(jī)在試驗(yàn)周期內(nèi)共發(fā)生n次故障,其故障發(fā)生時(shí)間從小到大依次排序?yàn)閠1

將數(shù)據(jù){(ti,F(ti))}(i=1,2,…,n)代入式(2),然后對(duì)其連續(xù)取兩次對(duì)數(shù),經(jīng)線性化處理后可得:

(6)

(7)

根據(jù)回歸分析法則,可以推導(dǎo)得出參數(shù)a、b、m和η的估計(jì)值表達(dá)式為:

(8)

(9)

(10)

得到如上關(guān)系式后,采用近似中位秩公式的計(jì)算值作為F(t)的估計(jì)值。

2.2.2 極大似然估計(jì)(MLE)

直接將故障間隔時(shí)間代入式(1),并對(duì)其求對(duì)數(shù),可得到似然函數(shù)如下:

(11)

筆者對(duì)式(11)中的m和η分別求偏導(dǎo)數(shù),可得似然方程組,對(duì)方程組進(jìn)行整理后可得:

(12)

根據(jù)點(diǎn)估計(jì)[14，15]的優(yōu)良性判別準(zhǔn)則,筆者采用無偏性和有效性作為參數(shù)估計(jì)值的選定標(biāo)準(zhǔn),經(jīng)過計(jì)算得出了其結(jié)果,如表2所示。

表2 有效性與偏差性對(duì)比表

由表2的數(shù)據(jù)可知:最小二乘法的數(shù)學(xué)期望誤差百分比為5.76%,標(biāo)準(zhǔn)差為86.986 2。極大似然估計(jì)的數(shù)學(xué)期望誤差百分比為2.99%,標(biāo)準(zhǔn)差為81.368 3。

與最小二乘法相比,最大似然估計(jì)得到的威布爾分布模型的數(shù)學(xué)期望值接近于干燥機(jī)故障樣本的平均值;最大似然估計(jì)得到的模型標(biāo)準(zhǔn)差小于最小二乘法得到的模型標(biāo)準(zhǔn)差。

結(jié)果模型的標(biāo)準(zhǔn)偏差表明:通過最大似然估計(jì)獲得的模型內(nèi)個(gè)體之間的離散程度較低。

2.3 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

(13)

聯(lián)立式(4,5)可得:

(14)

經(jīng)計(jì)算得出了相關(guān)的結(jié)果,如表3所示。

表3 谷物干燥機(jī)壽命分布檢驗(yàn)

3 谷物干燥機(jī)可靠性分析

在確定了威布爾分布模型[16-19]的形狀參數(shù)m和尺度參數(shù)η后,筆者把計(jì)算結(jié)果代入式(1～3)中,得到谷物干燥機(jī)相關(guān)的可靠性基本函數(shù)。

谷物干燥機(jī)的概率密度曲線如圖2所示。

圖2 谷物干燥機(jī)的概率密度曲線

由圖2可看出:谷物干燥機(jī)故障間隔時(shí)間的概率密度函數(shù)的極大值點(diǎn)在249 h左右,說明了此類干燥機(jī)的無故障工作時(shí)間的大眾數(shù)是249 h,這也就意味著在正常工作249 h以后,要進(jìn)行一定程度的大修,故原來規(guī)定的預(yù)防性保養(yǎng)時(shí)間在249 h。

同時(shí),可得出對(duì)應(yīng)的谷物干燥機(jī)故障概率分布曲線,如圖3所示。

圖3 谷物干燥機(jī)的故障概率分布曲線

由圖3可發(fā)現(xiàn):隨著谷物干燥機(jī)工作持續(xù)時(shí)間的增長,不可靠率也將相應(yīng)提高;到了150 h時(shí),函數(shù)斜率明顯上升,因此,故障率也開始增加。

3.1 故障概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

谷物干燥機(jī)故障間隔時(shí)間的故障概率密度函數(shù)和故障概率分布函數(shù)分別為:

(15)

(16)

3.2 可靠度函數(shù)

谷物干燥機(jī)的可靠度函數(shù)為:

(17)

谷物干燥機(jī)的可靠性趨勢(shì)圖如圖4所示。

圖4 谷物干燥機(jī)的可靠性趨勢(shì)圖

由圖4可以看出:通過計(jì)算得出的威布爾分布與源數(shù)據(jù)樣本的擬合效果較好,能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)出谷物干燥機(jī)的失效趨勢(shì)。

為了保證谷物干燥機(jī)的可靠性,可取可靠度R(T)為0.9來計(jì)算預(yù)防性維修周期。

在R(t)≥R(T)的條件下,谷物干燥機(jī)的工作周期為:

T=η(ln(1/R(T)))1/m

(18)

將威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式(18)中,可得谷物干燥機(jī)的預(yù)防性維修周期隨著可靠度的減小而增大。

筆者取不同的可靠度進(jìn)行計(jì)算。不同可靠度下的干燥機(jī)預(yù)防性維修周期,如表4所示。

表4 不同可靠度下的干燥機(jī)預(yù)防性維修周期

由表4可知,在R(T)為0.9時(shí),預(yù)防性維修周期為137.6 h。

平均故障間隔時(shí)間公式如下:

(19)

根據(jù)平均故障間隔時(shí)間公式,經(jīng)計(jì)算可得干燥機(jī)的平均壽命MTBF=249.8 h。

綜上所述,249 h小于谷物干燥機(jī)的平均壽命。該結(jié)果表明,原規(guī)定的定期檢修時(shí)間是合理的。

4 結(jié)束語

為了提高谷物干燥機(jī)的使用壽命,減少故障維修次數(shù),筆者運(yùn)用可靠性分析理論對(duì)其使用壽命進(jìn)行分析研究。

即根據(jù)谷物干燥機(jī)的相關(guān)維修數(shù)據(jù),筆者首先采用圖形法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行先驗(yàn)處理,建立了威布爾分布的擬合模型,并利用點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性判別準(zhǔn)則,選取極大似然估計(jì)法計(jì)算確定了威布爾模型的參數(shù);然后利用K-S檢驗(yàn)方法驗(yàn)證了擬合模型的合理性,并計(jì)算得到了相應(yīng)的分布函數(shù)和可靠性指標(biāo),進(jìn)一步優(yōu)化了預(yù)防性維修周期;最后對(duì)谷物干燥機(jī)的可靠性進(jìn)行了評(píng)估。

研究結(jié)果如下:

(1)谷物干燥機(jī)是十分重要的農(nóng)業(yè)設(shè)備,將可靠性分析理論運(yùn)用在其運(yùn)行規(guī)律上可以得到相應(yīng)的可靠性指標(biāo),從而進(jìn)一步提高設(shè)備的可靠性;

(2)與最小二乘法相比,極大似然估計(jì)得到的參數(shù)值可以更準(zhǔn)確的建立威布爾分布模型,并計(jì)算得到了平均故障間隔時(shí)間(249.8 h)和預(yù)防性維修周期(137.6 h)。

在后期的工作中,筆者將針對(duì)谷物干燥機(jī)的維修性進(jìn)行研究,將干燥機(jī)的可靠性和維修性相結(jié)合,來共同對(duì)谷物干燥機(jī)的質(zhì)量情況進(jìn)行評(píng)估。