基于子域模型的高溫超導繞組電機磁場解析計算

常勇， 包廣清， 何婷

(1.蘭州理工大學 電氣工程與信息工程學院，甘肅 蘭州 730050；2.甘肅自然能源研究所，甘肅 蘭州 730046)

0 引 言

高溫超導(high temperature superconducting，HTS)材料憑借零電阻、磁場性能強、交流損耗低、磁屏蔽性等特點被廣泛應用于電機設備[1-3]。與傳統電機相比，高溫超導電機具有體積小、功率密度高、效率高、溫升小、損耗低等諸多優點，在軍用艦船電力推進系統[4]、航空航天全電動飛機[5-6]和大型風力發電廠[7]等特殊場合得到了廣泛的關注與應用，具有非常重要的研究意義。由于高溫超導材料的載流密度高，在電機中不用鐵磁材料便可以獲得足夠強的磁場，因此，超導電機的定轉子采用非磁性鐵心。與常規電機相比，內部磁場分布有明顯差異。針對超導繞組電機拓撲結構和性能的特殊性，有必要對其磁場分布規律、電磁性能參數等關鍵問題進行系統研究。

隨著電機設計理論研究的不斷深入和完善，對其磁場計算精度的要求更為嚴苛，特別是在新型超導材料混合電機的設計過程中，對其磁場分布計算尤為重要。因此，精確分析計算超導繞組電機的磁場分布和電磁參數是超導類電機設計研究的關鍵。

目前對于電機磁場分析計算主要采用有限元法[8-9]和解析法[10-18]。有限元分析能夠處理復雜的電機結構及鐵磁材料的非線性等問題，計算精度高，但建模及運行分析耗時長，難以建立起各個物理量之間的直觀聯系；而解析法針對邊界形狀規則，材料特性線性的場合，突顯出計算速度快，計算量小，邏輯推理和物理概念清晰的優勢，有利于電機初始設計和優化。王明杰等人采用了精確子域模型對永磁直線同步電機空載磁場進行研究，提高了計算精度[19]。郭保成等人采用精確子域法對Halbach陣列盤式永磁電機進行了解析計算，并進行了相關實驗驗證[20]。然而當前絕大多數電機磁場解析計算方法都是針對傳統常規電機拓撲結構，國內外關于高溫超導電機結構和磁場解析計算研究較少，文獻[21]采用解析計算法方法針對超導汽輪發電機的勵磁磁場和電樞磁場進行分析，但缺乏對比分析，無法判斷解析計算的準確性；文獻[22]利用鏡像法對超導同步發電機的三維磁場分布進行求解，獲得了較高的計算精度。但目前仍缺乏系統的高溫超導電機磁場性能分析計算及研究的理論方法。

綜上所述，本文以高溫超導同步電機作為主要研究對象，針對超導電機采用非磁性鐵心的特殊結構，提出了一種基于子域解析法計算高溫超導繞組電機磁場分布電磁性能參數的解析方法。將超導電機的磁場作為線性穩定磁場處理。在二維平面極坐標系中，對高溫超導繞組電機磁場求解域進行子域劃分，建立了各子域矢量磁位拉普拉斯方程或泊松方程。根據邊界條件利用分離變量法分別求解各子域的拉普拉斯方程或泊松方程通解。在研究分析中得到的解析表達式具有普適性。與以往的研究相比[9]，該計算方案更加精確，考慮了繞組線圈的間距，推導出有源區域磁感應強度函數，從而確定高溫超導臨界電流密度。在求解各個子域的矢量磁位和磁感應分量的解析表達式時，充分考慮超導體臨界參數，電機極對數，高次諧波、每極每相槽數對電機磁場分布的影響。最后分別計算空載氣隙磁通密度和反電動勢等相關電磁性能參數，利用有限元法進行驗證分析該方法的準確性，對進一步完善超導線材和塊材電機設計理論具有參考意義。

1 解析計算模型

超導電機與常規電機在磁結構上區別較大，考慮超導材料的特殊性，轉子勵磁繞組和定子電樞繞組分別都固定在非磁性結構件上，可以看作是氣隙特別大的電機，因此對電機內部空間磁場分析時可以作為線性的平面穩定場處理。因此作以下基本假設：

1)磁性鐵心磁導率μFe→∞；

2)高溫超導材料穩定處于超導態；

3)高溫超導材料的電阻率為0，內部磁通密度為0；

4)忽略端部效應；

5)繞組區磁導率均為恒定值μ0；

6)高溫超導繞組鐵心呈非磁性。

在上述假設下，高溫超導電機有源區磁場的解析計算問題可以歸結為兩個圓柱形鐵磁區之間的繞組線圈產生的周期性磁場的計算問題。圖1給出了各極勵磁繞組的連接使得相鄰磁極的極性相同的周期性磁場的計算模型。超導繞組線圈位于磁導率無窮大的兩個圓柱形鐵磁之間的環形區域中，其磁導率為μ0。

對于圖1所示繞組線圈周期性磁場的求解問題，根據諧波分析法[23]與子域解析法[24-26]，將求解區域劃分為3個簡單的齊次子區域：

圖1 周期性磁場的解析計算模型

子域Ⅰ：R2≤r≤R1，為繞組線圈與外圓柱鐵磁區之間的非磁性間隙，磁導率為μ0，外圓柱鐵磁磁導率μFe→∞；

子域Ⅱ：R3≤r≤R2，為繞組線圈之間的非磁性間隙，其磁導率為μ0；

子域Ⅲ：R4≤r≤R3，為繞組線圈與內圓柱鐵磁區之間的非磁性間隙，磁導率為μ0，其中內圓柱鐵磁磁導率μFe→∞。

在穩定狀態下，子域Ⅰ和Ⅲ靜磁場滿足方程組：

(1)

子域Ⅱ滿足方程組：

(2)

2 磁場解析計算

2.1 各子域矢量磁位通解

在周期性交變磁場中，對于有源區域，因rotH=J，屬于有旋場，因此必須引入矢量磁位A,一般它是空間坐標和時間的函數，包含3個空間分量，滿足方程組[27]

B=rotA。

(3)

穩定磁場不包含時變分量，根據磁場強度的麥克斯韋方程微分形式可以得出

rotH=J。

(4)

將此式兩邊同時乘以μ0，得

rotB=μ0J。

(5)

將式(3)代入式(5)，利用矢量恒等式，得

rotB=rot rotA=grad divA-▽2A=μ0J。

(6)

為了完全地定義A，必須增加一個約束條件，即為庫倫條件為

divA=O。

(7)

根據式(7)的條件，式(6)化簡為

▽2A=-μ0J。

(8)

子域Ⅰ和Ⅲ的磁場屬于平行平面場，矢量磁位A只有z分量，其電流密度為0。因此，對方程(1)的求解可以轉化為對矢量磁位A的拉普拉斯方程的求解，即

ΔA=O。

(9)

根據式(9)確定子域Ⅰ和子域Ⅲ的磁場分布。

在子域Ⅱ中，對方程(2)的求解轉化為在庫侖規范下對矢量磁位A的泊松方程求解為

ΔA=-μ0j。

(10)

式中Δ為拉普拉斯算子，上式為庫倫規范下的矢量磁位A的泊松方程。

將求解二維磁場問題轉化為求解各個子區域的拉普拉斯方程和泊松方程的數學問題。采用平面極坐標系求解，式(3)可寫成：

(11)

2.2 邊界條件與求解

各子域劃分和邊界條件如圖2所示，考慮到磁系統在求解域的周期性，則根據矢量磁位及其偏導數?A(ρ,θ)/?r和?A(ρ,θ)/?θ確定的磁感應分量函數必為周期性函數，其周期為αT=2π/p。考慮到鐵磁區邊界處的磁感應切向分量為0，以及具有相同磁導率的區域邊界處磁位連續且滿足磁場強度切向分量相等，則矢量磁位的邊界條件為[19]：

圖2 各個子域劃分與邊界條件

子域Ⅰ：R2≤r≤R1，0≤θ≤2π，

(12)

(13)

子域Ⅲ：R4≤r≤R3，0≤θ≤2π，

(14)

2.2.1 子域Ⅱ中電流密度JII(θ)

選擇二維坐標系原點時，如圖3所示坐標軸與轉子繞組線圈的對稱軸線重合。電流密度分布如圖4所示，電流密度函數為：

圖3 線圈中電流的方向示意圖

(15)

式中：p為極對數；k=0,1,2,…,p-1。

(16)

(17)

根據傅里葉級數展開有

(18)

電流密度的正值對應繞組線圈中電流的方向，如圖4所示。繞組線圈的反極性可以用電流密度的負號來表示。

圖4 解析計算簡化模型與電流密度JII(θ)分布模型

2.2.2 子域Ⅰ和Ⅲ的拉普拉斯方程解

由于子域I和Ⅲ的氣隙內沒有電流，根據邊界條件(12)和條件(14)，用分離變量法[27]求解拉普拉斯方程(9)，在平面極坐標系中，式(9)可以變換為：

子域Ⅰ：(R2≤r≤R1，0≤θ≤2π)

(19)

根據圖2可知，氣隙內沒有線電流，因此在通解中不存在(A0Inr+B0)(C0θ+D0)項。通過分離變量的方法，得到式(19)的解為

(20)

通過式(9)和式(12)得到：

(21)

子域Ⅲ：(R4≤r≤R3，0≤θ≤2π)

(22)

同理得出式(22)的解為

(23)

通過式(9)和式(14)得到：

(24)

2.2.3 子域II的泊松方程解

在平面極坐標系中，式(8)可以變換為：

(25)

泊松方程的特解為

(26)

根據式(10)和式(13)得：

(27)

泊松方程的特解滿足式(13)的邊界條件。將式(25)代入式(13)，可得到拉普拉斯方程的通解邊界條件為：

(28)

采用分離變量法求解拉普拉斯方程(9)，得到解析表達式

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

根據式(19)可以得出：

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

根據式(11)變換可得：

(41)

各子域的磁位和磁通密度為：

子域Ⅰ：(R2≤r≤R1，0≤θ≤2π)

(42)

將式(42)代入式(41)可得：

(43)

(44)

將式(44)代入式(41)可得：

(45)

子域Ⅲ：(R4≤r≤R3，0≤θ≤2π)

(46)

將式(46)代入式(41)可得：

(47)

(48)

3 電磁參數計算

根據前面的假設及超導材料零電阻零損耗的特性，利用能量平衡與能量法進進行電磁參數計算。將超導電機系統視為無損耗儲能系統，在磁場變化周期相等的情況下，根據磁場能量與電感之間的關系計算相鄰兩組產生相同磁極的繞組線圈互感系數。根據電磁理論可知，超導繞組線圈產生磁場能量可以依據以下公式計算：

(49)

式中：A(r,θ)線圈產生的矢量磁位；j是線圈的電流密度；S為通電繞組線圈的截面積；ls為電機的軸向有效長度。

根據圖5所示為相同磁極的兩組線圈電磁參數計算模型與簡化模型，同時考慮磁場的周期交替性，兩組線圈互相產生的磁場能量為

圖5 相同磁極的兩組線圈電磁參數計算模型

(50)

式中β為兩組線圈的偏移角度。

完成式(50)的積分后，得

(51)

圖6給出了相鄰兩組線圈的分布直徑不相等的電磁參數計算模型。考慮磁場的周期性，兩組線圈互相產生的磁場能量為

圖6 相鄰兩組線圈分布直徑不相等的電磁參數計算模型

(52)

對式(52)進行積分，得

(53)

每個具有周期交替性磁場的線圈自身產生的磁場能量為

(54)

如果相鄰兩個具有周期性磁場的繞組線圈的周期系統具有不同的極性，那么在利用式(51)和式(53)計算磁場能量時，只需要對奇數次諧波求和，所得結果乘以4得到磁場總能量。

計算出磁場能量之后，根據公式W=1/2LI2,可以計算出勵磁繞組和電樞繞組的互感為

(55)

式中I1和I2分別為兩組線圈的電流。

同極繞組線圈的第一周期系統的自感為

(56)

得出繞組線圈的自感和互感，可以確定同步電機的主要參數，如空載反電動勢和主感應電抗，其中空載反電動勢定義為

E0=ωM12If。

(57)

式中：M12為勵磁繞組與電樞繞組的互感；If為勵磁電流；ω為角頻率。

電樞繞組的反應電抗定義為

Xq=ω(L1+M12)。

(58)

式中L1和M12根據式(55)～式(56)計算得出。

4 磁場分布及有限元分析驗證

4.1 有限元模型

為了驗證提出的解析法的準確性與有效性，以容量3.4 kW、9槽6極高溫超導繞組同步發電機為例，其結構如圖7所示。

圖7 高溫超導發電機的截面圖和裝配圖

發電機的繞組采用雙餅跑道型高溫超導磁帶制成，如圖8所示，其尺寸大小為0.4×4 mm，非磁性鐵心用于固定線圈。利用ANSYS Maxwell有限元分析軟件建立模型進行分析計算，與解析法計算結果進行對比。電機主要尺寸參數如表1所示。

圖8 雙餅跑道型超導線圈結構示意圖

根據表1的參數建立有限元分析模型，轉速設定為250 r/min，進行空載電磁性能分析。圖9和圖10分別為有限元預測的空載磁力線分布圖和電機空載磁密云圖。可以看出超導繞組電機的磁通密度值明顯比常規電機磁通密度值高，最高可達到3 T左右。

圖9 空載磁力線分布圖

圖10 電機空載磁密云圖

表1 主要尺寸參數

4.2 空載電磁分析與參數計算

計算同步發電機空載工況下的磁場分布，利用商用軟件ANSYS Maxwell建立二維瞬態場。對超導繞組發電機空載時的氣隙磁場進行仿真，利用場計算器求解氣隙(R1-R2)/2位置處的氣隙磁密，包括徑向分量與切向分量，結果如圖11和圖12所示。圖11(a)為氣隙徑向磁通密度沿著氣隙中線圓周一個機械周期的分布圖，從波形可以看氣隙磁密波形呈現正弦分布的趨勢,磁密最大值接近1.5 T。與解析法計算進行比較，結果表明解析方法和有限元方法得到的波形吻合度良好。對徑向磁通密度分布進行傅里葉分解后，得到徑向氣隙磁通密度分布的諧波分析對比結果如圖11(b)所示。對主要次諧波幅值與解析法計算結果進行誤差分析，其中誤差計算以有限元法計算結果為基準，從表2中的數據可以看出，基波幅值誤差為0.29%，3次諧波幅值誤差為1.8%，5次諧波幅值為0.52%，誤差在2%以內該解析方法對空載氣隙磁場的計算有較高的準確度，雖然高次諧波的幅值誤差相對較大，但對電機磁場整體分布計算影響不大。各次諧波分量如圖11(c)所示，同時求解一個時段的徑向磁通密度3維分布圖如圖11(d)所示。

圖11 空載徑向氣隙磁密分布

圖12 空載切向氣隙磁密分布

表2 徑向氣隙磁密主次諧波幅值及誤差

由于超導電機與常規電機相比氣隙特別大，因此，對超導同步發電機在空載工況下的切向氣隙磁密分布也進行了計算，其結果如圖12所示。其中圖12(a)為氣隙切向磁通密度分布，圖12(b)和圖12(c)為FFT分解的各次諧波及其幅值大小比較。圖12(d)為切向磁通密度3維分布圖。從分析結果來看，兩種方法對切向磁密的計算結果吻合良好，沒有出現太大的誤差。

在空載工況下，勵磁繞組通以電流，電樞繞組開路，計算三相空載電動勢，結果如圖13所示。與解析方法進行比較，吻合度較高。

圖13 空載電動勢波形

利用兩種方法分別計算了電樞繞組感應電抗值，根據表3可知兩種方法對電樞繞組感應電抗的計算值相差較為明顯，一是因為在有限元分析繞組感應電抗時是按照電機的實際結構和端部繞組部分，而在解析計算中，電機端部磁場分布復雜，為了便于計算，只考慮了電機繞組直線段部分的簡化模型，在實際工程設計中還需進行端部效應的等效計算；二是由于高溫超導帶材具有各向異性，其所處的漏磁場相比常規繞組電機更為復雜。

表3 兩種方法計算結果對比

5 結 論

本文以容量3.4 kW、9槽6極高溫超導同步發電機為例，通過直角坐標系中建立模型，劃分磁場區域，推導磁場分布計算的解析表達式，與有限元分析結果進行對比，得到如下結論：

1)通過計算氣隙徑向磁密、空載電勢，與有限元分析結果接近一致，在二維公式計算電樞繞組感應電抗時，解析計算只考慮了電機繞組直線段部分的簡化模型，因此出現誤差。整體而言，對高溫超導發電機進行參數計算分析表明，該解析方法具有較高的精度。

2)所求解的解析方程具有普適性，考慮了超導材料的臨界參數、電機極對數、高次諧波、每極每相槽數的影響，可應用于環形電樞繞組電機的磁場分析與計算。為計算不同類型的高溫超導類電機設計方案的磁場分布和參數計算提供參考。

3)與以往的研究相比，該算法考慮線圈之間的間距，根據載流線圈區域磁感應強度的大小來確定高溫超導帶的臨界電流。可用于高溫超導電機設計參數的計算和優化，為超導塊材電機設計磁場分析、參數計算提供理論依據。