尋“ 路”探“ 徑”,讓思維向深處漫溯

楊鴻

“雞兔同籠”問題是人教版小學數學四年級下冊第九單元“數學廣角”中的內容，《孫子算經》中最早記錄這個趣題，在我國民間廣泛流傳。教材的編寫意圖是通過對該問題的學習既讓學生感受我國數學文化的源遠流長，又使學生在經歷解決問題的過程中學會解決問題的策略。在教學中筆者發現有很多學生難以理解該問題的解決策略：教材中呈現的列表法思路比較簡單，但是有局限性;假設法容易運算，但要求學生具有較強的邏輯推理能力。大多數學生只會生搬硬套，于是會出現遇到題目變式便無從下手的困境。因而需要教師幫助學生找到解決問題、突破難點的路徑。

一 、以尊重認知為落腳點，降低學習難度

數學活動必須建立在學生的認知水平和已有知識經驗的基礎上，“數學廣角”的學習價值不僅僅是停留于得到一個答案和結果，更多的應體現在教給學生解決新問題的方法和策略，因而教師要找準學生的認知起點展開教學。

此類問題人教版教材中呈現的是運用列表法解決，由此可見列表的價值。列表法雖然費時間、效率低，但卻是研究數學常用且本源的方法，是一種重要的數學方法。筆者對本校四年級130個學生展開學前調研，在沒有提前預習和提供參考的情況下，發現至少有的學生對該題列式無從入手，因而回歸到學習最原始的狀態是很有必要的。教師通過讓學生用猜一猜、試一試、算一算的方法從未知開始，嘗試在解決問題的過程中逐步探索、積累感悟、獲得經驗，進而對方法進行優化和提升。教學中教師出示教材中的空表格，引入問題，啟發學生思考：“你從幾只開始猜，猜幾次猜到結果？請把幾次猜得的數據填在表格中。”學生有逐一列表的、有取中列表的、也有跳躍列表的。教師可以給予每種列表法的學生展示其表格和充分發表想法的機會。列表法直觀易懂，降低了學習難度，增強了學生的學習信心，讓學生經歷數據逐一調整變化，從而得出答案的過程。教師在教學中，瞄準學生的認知起點，在簡單易懂的列表法教學中給予學生充足的思考時間和空間，由于有了時間與空間的保障，學生有序思考、比較分析、歸納概括等能力都得到充分發展。

二、以核心問題為落腳點，實現深度學習

有效的數學問題是激發學生學習關注度和積極性的關鍵要素，是推進學習活動的重要抓手。優質的數學問題能夠指引學習方向、激發學生探究欲望，也是促進學生高階思維發展的重要載體。

為了讓學生深刻理解“假設法”的本質，在深度學習中獲取知識，更重要的是拉長學生學習假設法的體驗過程，因為充分的探究可以為假設法作更深厚的鋪墊。教師引入“假設全是雞”或“假設全是兔”的這種“逼近”和“假設”的數學思想方法在列表法中已有滲透，但如何溝通列表法和假設法的聯系，是學生介入假設法并理解假設法的關鍵。于是筆者瞄準“8只雞0只兔”的特例來設計問題引出假設法，通過提出核心問題：“如果猜測8只都是雞，你能根據腳數的變化推算出雞兔正確的只數嗎？”引發學生深度思考。教師可進一步引導學生通過前期猜測調整的經驗，在列表法中發現雞兔只數變化導致腳數變化的規律，即雞兔的總只數不變，雞每增加1只，則兔減少1只，腳的總數減少2只;兔每增加1只，則雞減少1只，腳的總數增加2只。進而學生利用教師提出的假設整合出解決問題能夠運用到的條件“如果籠子里8只全是雞，總腳數是8×2=16只，而題目的條件有總腳數是26只腳，則多出26-16=10只腳”，接著根據腳數差推算出雞兔正確只數，即兔有10÷2=5（只），雞有8-5=3（只）。接著教師通過課件播放生動的“雞兔表演”視頻，借助數形結合讓學生理解得更加深刻，逐步完善對假設法的深度體驗。此環節的教學，有了核心問題的驅動，假設法的體驗過程被拉長了，給予沒有接觸過“雞兔同籠”問題或理解能力薄弱的學生一個體驗感悟的機會，給予似懂非懂的學生一個深刻理解知識點的機會，從而避免了部分學生套用公式，讓他們在深度學習中探索知識，從本質上真正理解假設法的內涵。

三、以溝通融合為落腳點，促進聯結提升

教師要注重引導學生在感性認知的基礎上，及時溝通知識之間的內在聯系，厘清知識間的關系，將具有相同屬性的知識抽取概括，培養思維的概括性和融通性。

筆者在教學中進行了三次的溝通融合活動，第一次是在列表法的“一一列舉”和“取中列舉”教學中，教師先引導學生通過比較發現：“一一列舉”法有序，“取中列舉”法快速，共同點是都先假設一個答案，再進行驗證調整，最后總能得到正確的答案，從而學會調整的策略。第二次溝通是當學生學會了兩種假設法求解后，教師引導思考：為什么假設全是雞先求兔，假設全是兔先求雞？學生在充分的思考、討論中明確：假設全是雞，要把部分雞換成兔，所以先求兔;假設全是兔，要把部分兔換成雞，所以先求雞。這樣學生在討論、辨析、反芻過程中，經歷了從懵懂到豁然，從模糊到清晰的過程，從而發現知識深層次的原理。第三次是比較“列表法與假設法”之間的相同點，教師組織學生通過思考和交流，在思維碰撞中發現假設法與列表法本質是相同的，假設法只不過是舉特殊的例子，而列表法則是從最簡單的情況開始列舉，其本質是一樣的，都是假設、驗證、調整的過程，直指“雞兔同籠”問題本質，讓學生頓悟，深刻感受到了知識的來龍去脈，從而提升了思維能力。

四、以精選習題為落腳點，經歷建模過程

教師要善于設計能抓住知識本質和難點的習題，實現從一道題走向一類題的建構，經歷建模過程，形成問題模型，拓寬學生思維，促使所有的學生都能得到發展。

例如，在模型的應用推廣環節，教師故意設問：“籠子里關的一定是雞和兔嗎？一定是四只腳和兩只腳的動物嗎？在課本第105頁的練習題1中是龜、鶴站在一起，你們也會解決嗎？”讓學生安靜思考后嘗試運用學到的策略解決生活中的類似問題。教師利用課本中的“龜鶴問題”，讓學生在其他情境中識別出“雞兔”，聯結“雞兔”和“龜鶴”的關系，溝通它們的相同點，為建立“雞兔同籠”問題模型作鋪墊。另外設計“停車問題”：“停車場有自行車和三輪車共10輛，總共26個輪子，自行車和三輪車各多少輛？”由于在“雞兔”情境中，雞、兔腿數的相差數“2”與雞的腿數“2”的數字相同，容易產生混亂，于是通過“停車問題”來突破學習瓶頸。這道題通過相差數“1”，讓學生運用相同的方法解決問題。從一道題走向一類題，初步建立這一類問題的模型，從而在應用模型中拓展了“雞兔同籠”概念的外延，同時也培養了類推遷移能力。既深化了認知，又養成善于思考的良好思維品質，凸顯了本節課的學習價值。

（作者單位：福建省平潭麒麟小學）