“雙減”背景下基于歷史相似性的精準教學

岳增成 白莉莉

“雙減”的根本目的在于減輕學生的課業負擔，減輕負擔的根本之策則在于全面提升教學質量。精準教學可以助力教學實施過程精準高效，是“雙減”背景下小學數學教學提質增效的必然選擇。筆者考察精準教學實踐發現，在信息技術支持下，精準教學可以通過學情分析、內容選擇、路徑指導、教學干預等方式，讓教師更加精準地把握學生知識技能中存在的問題，提高學生學習效率，對于優化教學、減輕學生課業負擔具有重要意義。但同時也暴露出信息技術強烈的工具理性基質，以及信息技術支持下的精準教學過分重視知識技能，忽視思維的發展和知識的發生過程等重要問題，這就需要我們進一步優化精準教學路徑。數學歷史相似性是將數學史應用于課堂教學的基礎，是指學生對數學知識的認知過程和歷史上該知識的發展過程存在一定的相似性，這種相似性主要包括認知特點、認知障礙、認知順序上的相似性。這為我們探究學生的認知規律，開展精準教學活動提供了借鑒。本文以人教版六年級上冊“圓的認識”與“圓的周長”為例，對基于歷史相似性的精準教學進行說明。

一、以歷史相似性探究學生的認知特點，精準教學目標

歷史上，初等幾何的發展大致經歷了直觀幾何、實驗幾何、論證幾何三個階段，圓知識的發展同樣如此。在直觀幾何階段，人類的直覺識別出圓是特別的圖形，圓中蘊含著美。于是，人類祖先在很多器物、壁畫上留有圓的圖案。圖案中的圓夠不夠圓？人類受此驅動研究畫圓的工具，進入實驗幾何階段。人類在研究畫圓工具的過程中探究出了圓的性質，對圓進行了定義——“圓，一中同長也”“圓是由一條曲線包圍成的圖形，其內有一點與這條線上的點連接成的所有線段都相等”。以此為基礎，研究圓的其他性質，人類進入了論證幾何階段。人類對圓的周長的認識同樣如此，現實的需要讓人類開始測量圓的周長，通過觀察發現圓的周長與圓的直徑或半徑有關，通過測量發現圓的周長與圓的直徑的比值在一個固定的區間內。認識到實驗幾何固有的誤差后，開始用數學的方法對比值進行精確的計算，人類從實驗幾何進入論證幾何。但橫亙在數學家面前的一大難題是用圓內接正多邊形的周長逼近圓的周長得到的圓周率是近似的還是精確的，很多數學家無法理解以直代曲的極限思想，從而認為圓周率是一個近似值。

以歷史為參照對現行教材進行分析發現，“圓的認識”教材內容編排基本上遵循了初等幾何的發展歷程，從生活中的圓到數學中的圓，最后回到用數學語言描述圓。“圓的周長”教材內容編排則考慮到了學生認知發展水平，將重點放在實驗幾何，先安排滾圓法、繞圓法的圓周長測量方法，再安排多次測量求圓的周長與直徑的比值，未將其置于歷史的發展脈絡之上，僅附加地介紹了中國古代數學家對圓周率計算的貢獻，錯失了將學生引入論證幾何的機會。

實際上，學生對圓的認識、對圓周長的認識與這兩個主題的歷史發展具有相似性：一方面，在這兩個主題的學習中，學生會從直觀入手形成對數學對象的主觀認識，然后運用度量的方法對數學對象進行研究，加深對數學對象的了解，最后嘗試運用數學的方法研究數學對象，形成理性認識。另一方面，數學家面對某些數學問題時遭遇到的困難也是今天學生的學習障礙，而困難的解決往往將數學的發展推向更高的層次，因此學生的學習障礙往往出現在數學主題從一個階段發展到另外一個階段的節點處。如何用數學的方法刻畫“夠不夠圓”？如何計算圓的周長與圓的直徑的比值？如何理解以直代曲的極限思想？這些都是圓、圓的周長歷史發展的關鍵節點，是教學的重點與難點，也是精準教學指向的核心問題。

基于以上對歷史、教材、學生的分析，將“圓的認識”一課的教學目標確定為：（1）通過對古今各種形狀的物體的觀察、比較，感受圓之美，初步認識圓;（2）嘗試利用各種工具畫圓，從中認識圓心、半徑;（3）在古今對照中，加深對圓的認識，能辨析給定的圖形是否為圓，提高數學學習的興趣與信心。將“圓的周長”的教學目標確定為：（1）探究測量圓周長的方法;（2）會用測量法計算圓周率，在對比中感受測量法的誤差;（3）重走古人計算圓周率的歷程，經歷圓內接正多邊形周長逐漸逼近圓周長的過程，感受以直代曲的極限思想;（4）在歷史的進程中，了解古人的智慧，感受古人勤奮好學、孜孜不倦的精神。其中，“圓的認識”中的目標（2）、“圓的周長”中的目標（3）是實施精準教學的關鍵。

二、參照歷史相似性，重構教學路徑，著力歷史關鍵節點

基于歷史相似性重構教學路徑將順應學生的認知發展規律。同時，注重數學主題從一個階段發展到另外一個階段節點處的任務設計，將有助于突出重點、突破難點，這為精準教學的實現提供可能。

重構圓的歷史，以“夠不夠圓”作為精準教學“圓的認識”的突破口。從圓之美入手，學生從對各種文物的欣賞中感受到圓在古代的廣泛應用及背后的緣由。探究圓之理，引入古巴比倫泥板中的圓，學生認為這些圖形不夠圓，教師追問“為什么不夠圓”，學生回答“未運用工具”，教師順勢呈現除圓規外的其他畫圓工具。學生通過小組探究、對比、歸納等得到畫圓的要素是定點、定長，前者確定圓的位置，即圓心，后者確定圓的大小，即半徑。隨后引入歷史上有關圓的定義，加深學生對圓的性質的理解。在這一環節，教師借助古巴比倫人的圓引出了精準教學的著力點——用數學的方法刻畫夠不夠圓。在用各種工具畫圓的探究任務中，學生歸納出了畫圓的要素，真正地理解了圓，精準教學得以發生。最后回到認識圓，一方面讓學生欣賞各種圓形物品，另一方面通過提問“圓在哪里”為學生克服直觀幾何的負遷移提供機會。

“圓的周長”的教學讓學生經歷直觀幾何、實驗幾何、論證幾何三個階段。通過現實情境的引入，讓學生產生精確測量圓周長的需求，學生探究出滾圓法、繞圓法等以直代曲的思想方法后，讓他們在多個圓的周長的比較中猜測圓的周長與什么有關系。引導學生設計實驗方案驗證猜想。學生在多組周長、半徑的測量與計算后，發現其比值接近一個定值。如何準確地求得定值？這是精準教學的著力點。教師呈現《周髀算經》中“周三徑一”的方法，讓學生猜測如何才能更準確地計算比值。學生想到通過增加圓內接正多邊形的邊數。增加到多少才能接近314？劉徽將其計算到了圓內接192邊形。那314是一個精確值嗎？祖沖之將其計算到了31415926～31415927之間。那要用圓內接正多少邊形代替圓的周長才能得到這個答案？24576。經歷中國古代數學家計算圓周率的歷程，學生初步感知了以直代曲的極限思想，精準教學得以發生。

“雙減”的落實驅動教學質量的提升，指向高效益的課堂，高效益課堂的實現需要精準教學。歷史相似性的存在有助于精準教學的落實，更重要的是，數學史多元文化的屬性豐富了精準教學的工具理性基質，讓工具理性嵌入了人文性的特質，這為精準教學的進一步研究提供了方向。

（作者單位：杭州師范大學經亨頤教育學院 本專輯責任編輯：王彬）