一類分式求和型數(shù)列不等式的多種證明方法

廣東省中山市中山紀(jì)念中學(xué)(528454) 梁世鋒

類型一:分式求和型數(shù)列不等式

為行文方便,我們首先明確分式求和型數(shù)列不等式的概念.稱形如(其中r≠0,m,r,s,a,b∈R 且a>0,a≠1)為分式求和型數(shù)列不等式.

以下通過(guò)證明經(jīng)典高考試題,給出處理此類問(wèn)題的典型方法,并說(shuō)明這些方法在證明中所起的作用.

例1 已知數(shù)列{an} 滿足:a1=1,an+1=2an+1(n∈N?).

(1)求數(shù)列通項(xiàng)an;(2)證明:

解析(1)由an+1=2an+1 可得:an+1+1=2(an+1),故數(shù)列{an+1}是以2 為首項(xiàng),公比為2 的等比數(shù)列,所以an=2n?1(n∈N?).

下面用不同方法證明不等式左邊成立.

則有

證法5 補(bǔ)項(xiàng)構(gòu)造裂項(xiàng)相消.

若b<0,則

從而實(shí)現(xiàn)裂項(xiàng)相消進(jìn)行放縮,此法的關(guān)鍵在于如下結(jié)構(gòu):

類型二:分式擺動(dòng)求和型數(shù)列不等式的放縮

例2 已知函數(shù)f(x)=,

(1)若數(shù)列{an} 滿足a1=,an+1=f(an),bn=,n∈N?,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出的通項(xiàng)公式;

解(1)bn=2n(n∈N+),過(guò)程從略.

證法1 奇偶并項(xiàng),構(gòu)造等比數(shù)列.

(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

即cn+cn+1<.所以

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),則n+1 為偶數(shù),由上知:

證法2 避開(kāi)并項(xiàng)求和,構(gòu)造等比數(shù)列.

類似地,參照類型一的方法,可以構(gòu)造

成立,同樣保持前兩項(xiàng)不變,從第三項(xiàng)起進(jìn)行放縮,從而

類型三:分式求積型數(shù)列不等式放縮

例3 (2006年高考江西卷)已知數(shù)列{an}滿足:a1=,且an=(n≥2,n∈N?),

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)證明:對(duì)于一切正整數(shù)n,不等式a1·a2·a3···an <2n!

證法二據(jù)(1)得,

為證:a1·a2·a3·...·an <2n!,只要證n∈N?時(shí)有

顯然,左端每個(gè)因式都是正數(shù),先證明,對(duì)每個(gè)n∈N?,有

(此處隱含不等式(1?x)·(1?x2)·(1?x3)·...·(1?xn)≥1?(x+x2+x3+···+xn)x∈(0,1)成立.)

用數(shù)學(xué)歸納法證明③式:

(1)n=1 時(shí),③式顯然成立,

(2)設(shè)n=k時(shí),

即當(dāng)n=k+1 時(shí),③式也成立.故對(duì)一切n∈N?,③式都成立.利用③得,

所以故②式成立,從而結(jié)論成立.