基于黏度時變性的Herschel-Bulkley流體劈裂注漿擴散特性研究

劉海明，盧昊正，南 敢，王忠偉，梁 瑞，丁文云

（1.昆明理工大學建筑工程學院，云南昆明 650500；2.保（山）施（甸）高速公路投資開發責任公司，云南保山 678200；3.中鐵二院昆明勘察設計研究院有限責任公司，云南昆明 650500）

引言

在公路、邊坡、隧道等工程施工中，滑坡、崩塌、泥石流等自然地質災害時有發生，不僅導致工期延誤和經濟損失，甚至會造成人員傷亡。注漿是指用一定的壓力將漿液通過導管注入到土體中，通過填充裂縫和孔隙［1］、排擠水分和氣體，硬化后膠結土體，從而改善土的性質以達到防滲和加固的效果，因此注漿技術已成為自然地質災害防治的有效手段之一。劈裂注漿應用廣泛，但機理較為復雜，目前針對這方面的研究相對較少，其理論遠遠滯后于工程建設，影響了注漿技術在工程地質災害防治領域的應用。

漿液在土體中的擴散很大程度上決定了注漿加固的效果［2］，另一方面，注漿擴散過程可能會對地下水環境造成污染［3］。秦鵬飛［4］利用PFC2D模擬漿液的擴散過程，從細觀的角度揭示了漿液改變地層孔隙率的機理，探究了漿液黏結強度的影響。張玉等［5］通過注漿參數的正交試驗，總結出漿液在不同參數及水平影響下的擴散規律，闡述了漿液滲透與流動的關系。歐陽進武等［6］針對賓漢流體的劈裂注漿問題，推導出漿液擴散方程，并研究了漿液在地基土中的流動。魏建平等［7］建立了考慮漿液自重的隧道注漿模型，證明了注漿改良斷層圍巖的可行性。Zhou等［8］開展了大壓力、注漿試驗，研究高注漿速度對孔隙率的影響。Sun等［9］基于粒子流理論，模擬了土體中的裂隙注漿的過程，分析了不同注漿參數時漿液的流動特性。Li等［10］建立了適用于隧道和地下軟弱圍巖的劈裂注漿計算模型，該模型考慮了時變性的影響，可求得裂隙寬度和注漿壓力的經驗解。楊秀竹［11］等推導出冪律型漿液在巖體中漿液擴散半徑計算公式。阮文軍［12］建立了穩定性漿液注漿擴散模型，其理論計算結果與工程實際相符。在巖土及其他領域，學者們對Herschel-Bulkley流體的流動規律進行了研究。李靖祺等［13］采用Herschel-Bulkley模型研究自密實混凝土的流動性能，Khamehchi等［14］通過實驗證明該模型能更準確地描述微泡鉆井液的流動過程，張廣等［15］采用上述模型研究磁流變膠的流動特性。國外也有學者化學、生物及其他領域將Herschel-Bulkley模型用于研究流體的流變特性［16－17］。

綜上所述，注漿理論對注漿參數的確定起指導性作用［18～19］，目前Herschel-Bulkley流變模型在注漿領域的研究較少，亟待完善有關理論。文中基于Herschel-Bulkley流變模型，假定漿液平板窄縫流動，考慮黏度的時變性，推導了劈裂注漿擴散半徑理論公式，分析了注漿參數對漿液擴散半徑的影響；并與不同流變模型計算結果及工程實例進行對比，以完善劈裂注漿理論的發展，從而為劈裂注漿技術在實際工程地質災害防治的應用提供一定的指導作用。

1 劈裂注漿擴散公式推導

1.1 注漿基本假定

針對劈裂注漿擴散過程，基本假定如下所示：

（1）漿液為Herschel-Bulkley流體；

（2）裂縫中漿液的流動為層流；

（3）漿液流動過程中速度恒定；

（4）漿液黏度隨時間變化；

（5）視漿液的運動路徑為平板窄縫型，且其高度與寬度均勻，即δ(x)=δ,b(x)=b；（6）受注土層各向同性。

1.2 Herschel-Bulkley模型方程

Herschel-Bulkley模型與屈服應力相關，應用于土體劈裂注漿時，其本構方程為：

式中：τ0為屈服應力；K為稠度系數；γ為剪切速率；n為流變指數；τ為剪切應力。

Herschel-Bulkley模型對于幾類常用流體都具有良好的適用性，其表達式如表1所示。

表1 不同流體模型參照表Table 1 Reference table for different fluid models

考慮時變性，對于漿液的剪切速率，有如下關系：

式中：υ為流動速度；y為中心高度。

黏度的改變直接影響注漿，在注漿過程中，漿液的黏度隨時間逐漸增加。根據已有的研究［20］，考慮時間的影響，得漿液黏度的公式如式（3）所示。而流變指數可取n()

t≈n，因為時間對其影響不明顯。

式中：K(t)為t時刻的稠度系數；C0為初始稠度系數；w為時變系數。

根據已有的研究［21］，初始稠度系數取值范圍為10～70內，時變系數取值范圍為9×10－3～33×10－3。

由式（1）計算可得K(t)，再代入式（3），可得式（4）

1.3 注漿公式推導

平板窄縫漿體力學分析模型如圖1所示。

圖1 平板窄縫模型Fig.1 Flat slit model

由流體動力與阻力平衡的條件，得如下方程（5）和（6）：

式中：Δp為漿液壓力差；b為土體裂隙寬度；L為土體裂隙長度；δ為土體裂隙高度；τ為剪應力；τe為剪切應力。

計算式（5）和式（6），轉化形式得：

聯立式（1）與式（2）得：

將式（3）代入式（9）得：

式中：C為常數。

將式（11）代入式（10）得：

為方便后續公式推導與計算，將式（12）轉換為積分形式，轉換如下：

聯立式（7）與式（8）得：

將式（14）代入式（13）并變換積分變量得：

由式（15）得：

將式（7）與式（8）代入上式得：

通過平板寬度b和平板縫隙厚度δ的單位時間流量q為：

將式（17）代入上式得：

2 漿液擴散特性分析

基于推導的劈裂注漿公式，對影響漿液擴散半徑的各參數展開分析。參數基本取值如表2所示。

表2 參數基本取值表Table 2 Parameter basic value table

2.1 注漿壓力差

（1）注漿壓力差與初始稠度系數的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數n，其他參數取值如表2，研究初始稠度系數C0的影響。根據式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖2所示。

分析圖2結果發現，在其他參數相同的條件下，當初始稠度系數C0提高，注漿壓力差ΔP也增大；流變指數n減小時，注漿壓力差ΔP也減小；二者呈正相關。實際注漿中，水灰比越大，為達到同等注漿半徑，所需注漿壓力越小，公式結果與實際相符。

圖2 初始稠度系數對注漿壓力差的影響Fig.2 The influence of initial consistency coefficient

（2）注漿壓力差與漿體時變系數的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數n，其他參數取值如表2，研究時變系數w的影響。根據式（22）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖3所示。

分析圖3結果發現，在其他參數相同的條件下，當流變指數n小于1.0時，時變系數w的改變，對注漿壓力差ΔP幾乎無影響。當n=1.3、1.5時，當w由0.010增大到0.025時，所需的ΔP開始增大；當w由0.025增大到0.030時，此時ΔP的增大幅度迅速提高，時變系數w的影響顯著。

圖3 漿體時變系數對注漿壓力差的影響Fig.3 The influence of the time-varying coefficient of slurry on the grouting pressure difference

（3）注漿壓力差與裂隙高度的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數n，其他參數取值如表2，研究裂隙高度δ的影響。根據式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖4所示。

圖4 裂隙高度對注漿壓力差的影響Fig.4 The influence of the height of the crack on the grouting pressure difference

分析圖3結果發現，在其他參數相同的條件下，裂隙高度δ增大到0.005時，漿體達到相應擴散半徑所需注漿壓力差ΔP也迅速降低；而流變指數n越小，δ的影響越不明顯，即ΔP的降低幅度越小。而δ＞0.005時，ΔP的降低速度逐漸放緩，直至趨于不變。

（4）注漿壓力差與注漿時間的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對注漿壓力差ΔP的改變，取不同流變指數n，其他參數取值如表2，研究注漿時間t的影響。根據式（19）進行計算，注漿壓力差ΔP值如圖4所示。

分析圖5結果發現，在其他參數相同的條件下，注漿時間t與壓力差ΔP呈正相關。當t＜6 min時，注漿時間的影響不明顯，此時注漿所需壓力不大；當t大于6 min時，注漿時間的影響顯著，即注漿越到后期所需壓力越大；而流變指數n越小，時間對注漿壓力的影響越不明顯，因為漿液水灰比增大；上述分析與實際相符。

圖5 注漿時間對壓力差的影響Fig.5 The influence of grouting time on grouting pressure difference

2.2 注漿擴散半徑

（1）漿液最大擴散半徑與注漿壓力差、流變指數的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數n，注漿時間t=3 min，初始稠度系數C0=10，其他參數取值如表2，研究注漿壓力差ΔP的影響。根據式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖6所示。

圖6 注漿壓力差、流變指數對漿液最大擴散半徑的影響Fig.6 The influence of grouting pressure difference and rheological index on the maximum diffusion radius of grout

分析圖6結果發現，在其他參數相同的條件下，壓力差ΔP的增大和流變指數n的減小，均可提高漿液最大擴散距離；且n越大，擴散距離的增大幅度越小，此時注漿壓力差ΔP的變化對漿體最大擴散半徑Lmax的影響也越來越小。原因是當n大于1時，此時漿液水灰比較小，黏度較大不易擴散；當n小于1時，漿液可認為是帶屈服值的擬塑性流體，在裂隙中更易流動，因此擴散半徑較大。

（2）漿液最大擴散半徑與注漿壓力差、初始稠度系數之間的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同初始稠度系數，流變指數n=0.2，注漿時間t=6 min，漿體時變系數w=0.01，其他參數取值如表2，研究注漿壓力差的影響。根據式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖7所示。

圖7 注漿壓力差、初始稠度系數對漿液最大擴散半徑的影響Fig.7 The influence of grouting pressure difference and initial consistency coefficient on the maximum diffusion radius of grout

分析圖7結果發現，在其他參數相同的條件下，漿液最大擴散半徑Lmax與稠度系數K成反比，即稠度系數K越小，最大擴散半徑Lmax越大，即黏度越小，漿液越容易擴散；漿液最大擴散半徑Lmax與注漿壓力差ΔP成正比，即ΔP越大，最大擴散半徑Lmax越大。

（3）最大擴散半徑與壓力差、時變系數的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同注漿壓力差，注漿時間t=6min，其他參數取值如表2，研究時變系數w的影響。根據式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖8所示。

圖8 注漿壓力差、漿體時變系數對漿液最大擴散半徑的影響Fig.8 The influence of grouting pressure difference and slurry time-varying coefficient on the maximum diffusion radius of slurry

分析圖8結果發現，在其他參數相同的條件下，漿體時變系數w由0.010增加到0.019的過程中，漿液擴散半徑變化明顯，且下降速度逐漸放緩；當w大于0.019時，此時繼續增加，Lmax變化也不明顯，直至趨近于0。

（4）最大擴散半徑與裂隙高度的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數，注漿時間t=6min，其他參數取值如表2，研究裂隙高度δ的影響。根據式（22）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖9所示。

分析圖9結果發現，在其他參數相同的條件下，漿液最大擴散半徑Lmax與裂隙高度δ成正比，且流變指數越小，裂隙高度δ對最大擴散半徑Lmax的影響更為顯著。裂隙高度的擴大，有利于漿液的流動，因此最大擴散距離也提高；而隨著流變指數n的增大，水灰比減小，漿液變稠，此時增加裂隙高度δ也沒有明顯變化。

圖9 裂隙高度對漿液最大擴散半徑的影響Fig.9 The effect of the height of the crack on the maximum diffusion radius of the slurry

（5）漿液最大擴散半徑與注漿時間的關系

基于Herschel-Bulkley流體，針對漿液最大擴散半徑Lmax的改變，取不同流變指數，其他參數取值如表2，研究注漿時間t的影響。根據式（19）進行計算，漿液最大擴散半徑Lmax值如圖10所示。

圖10 注漿時間對漿液最大擴散半徑的影響Fig.10 The influence of grouting time on the maximum diffusion radius of grout

分析圖10結果發現，在其他參數相同的條件下，當注漿時間t=1 min時，此時漿液擴散半徑最大；之后增大注漿時間，最大擴散半徑變小。在同樣的注漿時間里，增大流變指數n，最大擴散半徑也減小，且半徑減小的幅度逐漸下降，趨近于0。

3 公式計算結果對比

根據廈門隧道注漿試驗數據［21］，大部分的地表冒漿都出現在距注漿孔1.5～2.5 m的區域內，而地表開裂冒漿位置可以表明注漿有效擴散范圍（擴散半徑）。

根據文獻［21］中考慮黏度時變性的賓漢流體漿液擴散半徑計算公式，對于平板裂縫理想平面流模型：在注漿壓力差ΔP=0.15 MPa，流速υ=0.01 m/s，裂隙高度δ=0.01 m，初始稠度系數C0=15，漿體時變系數w=0.01，注漿時間t=20 min條件下，本文理論公式（19）計算出土體中漿液的最大擴散半徑為2.2 m；而應用文獻［21］中的公式計算得出的最大擴散半徑為2.0 m，兩者相差不大。由以上分析可知，文中公式（19）漿液擴散半徑計算理論值在工程實測值范圍內，可驗證公式的正確性。

4 結論

（1）基于Herschel-Bulkley流變模型，并結合平板裂縫流動模型，在考慮黏度時變性的條件下，推導出劈裂注漿Herschel-Bulkley流變模型的漿液擴散半徑計算公式。Herschel-Bulkley模型綜合了不同模型的特點，且本文公式考慮了黏度的時變性，適用性較好。

（2）對影響漿液擴散半徑的各參數進行分析，結果表明：注漿壓力和裂隙高度的提高，有利于漿液的擴散，與漿液擴散半徑呈正相關；考慮漿液的時變性，而注漿時間、時變系數、流變指數、初始稠度系數的提高，均會提升漿液所受阻力，不利于擴散，與漿液擴散半徑呈負相關。

（3）通過與不同流體模型漿液擴散半徑計算公式的理論值進行對比，二者相差不大，且基本符合實際工程，驗證了文中公式的正確性。

（4）文中假設漿液為Herschel-Bulkley流體，基于平板裂縫流動模型；視漿體的運動路徑為平板窄縫型，且其高度與寬度均勻，實際土體劈裂注漿過程中裂縫分布不均勻，因此在今后的研究中有必要進一步進行探討。