儲液晃動對臥式儲罐地震響應的影響研究

崔利富，孫建剛，呂 遠，程麗華

（1.大連民族大學土木工程學院，遼寧大連 116605；2.哈爾濱工業大學（深圳）土木與環境工程學院，廣東深圳 518055；3.廣東省石油化工腐蝕與安全工程技術研究中心，廣東石油化工學院，廣東茂名 525000）

引言

臥式儲罐通常用于石化行業，用于儲存低溫，高壓化學原料，工藝材料和成品。由于臥式儲罐中的液體儲存通常具有高毒性，易燃性和爆炸性的特點，一旦強烈地震破壞，可能會導致嚴重的繼發性災難，例如爆炸和火災。在地震作用時，臥式儲罐的地震響應十分復雜的，包括支承結構及罐體振動、儲罐晃動以及液固耦合振動等。目前，國內外學者針對儲罐結構的抗震設計、儲液晃動等研究多關注于立式儲罐或LNG儲罐［1－10］，而現有臥式儲罐地震響應問題的參考文獻相對較少，且外文文獻居多。2005年，Platyrrachos和Karamanos［11］針對臥式儲罐晃動問題提出了一種基于理想狀態（無自旋，無粘性，小晃動）的液體晃動的有限元計算公式。2008年，Stefan［12］研究了水平圓柱形儲罐中粘性液體的晃動形狀和晃動頻率，并得出了不同儲水高度和儲水粘度下的軸向和橫向晃動頻率。2009年，Karamanos［13］假設液體為理想流體，并通過有限元方法求解了液體速度勢。通過分解儲罐-液體運動，提出了一種計算晃蕩頻率和晃蕩當量的有效方法。2012年，Omar Badran［14］提出了水平罐的三維準靜態集中質量模型，并研究了其在加速狀態下的動態性能。2015年，Amir Kolaei［15］提出了結合多峰方法的邊界元法，并研究了油輪在制動和轉向過程中橫向和縱向加速度激勵的三維晃動問題，并進一步討論了其適用性。2016年，Wenyuan Wang［16］基于線速度勢理論，推導了新的變分原理公式和半解析縮放邊界有限元方法來解決液體的晃動問題。2017年，Seyyed M.Hasheminejad［17］基于線速度勢理論和圓柱貝塞爾函數推導了水平儲罐晃蕩的解析解。2018年，Alessandra Fiore［18］進行了水平罐動態分析和安全驗證，并基于有限元模型建立了單自由度簡化的力學模型。2020年，呂遠等［19］立足于臥式儲罐抗震設計，基于勢流體理論推導了橫向與縱向地震激勵時的抗震設計簡化力學模型。

綜上所述，當前臥式儲罐抗震設計研究的關鍵問題為液體晃動，且多依靠理論分析與有限元數值仿真技術，試驗研究較少。鑒于此，本文以臥式儲罐為研究對象，采用理論分析與模擬地震振動臺試驗相結合的方式，重點分析橫向地震激勵下液體的晃動對臥式儲罐地震響應的影響，結合振動臺試驗對比驗證簡化力學模型以及規范算法，為臥式儲罐抗震設計提供理論與試驗支撐，對臥式儲罐的抗震設計具有一定的指導意義。

1 考慮儲液晃動的簡化力學模型

以臥式儲罐圓柱形罐壁軸線為Z軸，建立如圖1所示柱坐標系。依據勢流體理論，將儲液簡化為無漩、無粘、不可壓縮的理想流體，其速度勢Φ( )r,θ,z,t滿足Laplace方程。忽略罐壁的彈性變形，將其假定為剛性罐壁，則儲液速度勢可分解為隨罐壁振動的剛性速度勢Φr( )r,θ,z,t以及晃動速度勢Φs( )r,θ,z,t。根據流體動力學，求解液體動態壓力的關鍵問題在于求解儲液運動速度勢。根據本文假定，儲液速度勢為Laplace方程的邊值問題。

橫向地震激勵時，從邊界條件很容易知道，儲液速度勢是一個關于r和θ的二維問題，儲液液罐壁接觸面滿足如式（2）～式（3）的邊界條件，而在自由液面滿足邊界條件（4）［17］。

式中：x g(t)為地面位移；x0(t)為由臥式儲罐支承結構變形引發的罐壁位移。

結合邊界條件，求解極坐標系下Laplace方程，并結合結構動力學振型疊加法克推得儲液運動速度勢的表達式。

式中，ψ1為液體晃動第1階振型向量；N=[r nsin(nθ)]n×1，m1為第1階晃動振型對應的廣義質量。

根據儲液運動速度勢，可進一步推得重力場作用下自由液面的振動形態（液體晃動波高），及儲液作用在罐壁上的動液壓力：

則其中ρ為儲液密度。

將儲液動態壓力在液固耦合面域內積分并加上罐壁慣性力即可得地震作用下，臥式儲罐支承（鞍座）承受的水平剪力：

式中，m s為罐壁等的等效質量。通過積分變換，等式（8）可轉化為：

則根據式（9）即可構建橫向地震激勵下臥式儲罐考慮儲液晃動的簡化動力學模型［17］，如圖2所示。mr為儲液剛性分量等效質量與罐壁等質量之和。

圖2 簡化動力學模型Fig.2 Simplified kinetic model

其中，k c,c c分別為晃動分量等效剛度系數和阻尼系數，可表示為：

式中，k0,c0為支承結構等效剛度系數和阻尼系數。ξ為晃動等效阻尼比。

由Hamilton原理，可推導建簡化力學模型的運動方程式。根據能量守恒，存在：

式中：T,V分別為系統的動能和勢能；W為非保守力做的功。解得：

2 單質點簡化力學模型

目前，國內涉及臥式儲罐抗震設計的規范均未考慮儲液晃動影響，即將臥式儲罐簡化為單質點體系［20～22］，如圖3所示。

圖3 單質點簡化動力學模型Fig.3 Simplified kinetic model of single particle

式中，m為儲液質量，罐壁質量及其他附件質量總和。其地震響應運動控制方程為：

地震作用時上部結構作用于鞍座的水平慣性力為：

3 數值算例分析

選取某一回流臥式儲罐作為算例，進行數值分析。儲罐全容積為7 m3，充裝系數為0.85，設計壓力：常壓，存儲介質為水混合物，可認為其密度為1 000 kg/m3。罐體內徑為1 500 mm，壁厚6 mm，罐體總長3 312 mm，圓柱形罐體長2 550 mm，兩端為標準橢圓封頭。鞍座包角為120°，材料為Q235鋼材。臥式儲罐具體參數如圖4所示。

圖4 臥式儲罐示意圖（單位：mm）Fig.4 Schematic diagram of horizontal storage tank

3.1 地震動輸入

石油化工鋼質設備抗震設計規范（GB 50761-2012）［22］將地土大致分為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四種類型，因此根據規范本文針對每類場地選取對應的3條實際記錄地震波作為地震動輸入，并調整PGA=0.2 g。其加速度響應譜和標準譜如圖5所示。

圖5 地震動輸入Fig.5 Ground motion input

3.2 數值分析

以上述地震波作為地震動輸入，以作用于臥式儲罐底部支承的基底剪力作為控制目標，對比分析不同地震動輸入及不同場地條件下考慮儲液晃動的兩質點模型與規范單質點模型計算差異，研究儲液量分別為H=1.5R填充、H=R填充時儲液晃動對臥式儲罐地震響應的影響，計算結果如表1～表8所示。若儲液填充量為H=1.5R時，考慮儲液晃動雙質點模型參數，m c=1 270 kg，m r=3 830 kg，ω=4.98 rad/s；單質點模型參數m c=mc+m r=5 100 kg。若儲液填充量為H=R時，考慮儲液晃動雙質點模型參數0.5，m c=1 423 kg，m r=2 152 kg，ω=4.21 rad/s；單質點模型參數m c=3 575 kg。

表1 Ⅰ類場地85%填充底部剪力峰值對比Table 1 Comparison of shear peak at 85%filling bottom of class I sit

表8 Ⅳ類場地50%填充底部剪力峰值對比Table 8 Comparison of peak shear force at 50%filling bottom of class IV site

表2 Ⅱ類場地85%填充底部剪力峰值對比Table 2 Comparison of shear peak at 85%filling bottom of class II site

表3 Ⅲ類場地85%填充底部剪力峰值對比Table 3 Comparison of shear peak at 85%filling bottom of class III site

表4 Ⅳ類場地85%填充底部剪力峰值對比Table 4 Comparison of shear peak value of 85%filling bottom in class IV site

表5 Ⅰ類場地50%填充底部剪力峰值對比Table 5 Comparison of peak shear force at the bottom of 50%filling of class I site

表6 Ⅱ類場地50%填充底部剪力峰值對比Table 6 Comparison of peak shear force at 50%filling bottom of class II site

表7 Ⅲ類場地50%填充底部剪力峰值對比Table 7 Comparison of peak shear force at 50%filling bottom of class III site

表1～表8展示了4種場地波作用下儲液量分別為H=1.5R及H=R時基底剪力的峰值。表中數據顯示，單質點模型計算所得各類場地條件下基底剪力峰值均大于考兩質點模型，差異率約為10%～40%，說明考慮儲液晃動后對臥式儲罐的地震響應有一定抑制作用。計算過程中可以發現儲液量分別為H=1.5R及H=R時單質點模型基本自振頻率為45.34 Hz、54.49 Hz，而考慮液體晃動的兩質點模型的地震響應振型主要為液體晃動振型（0.79 Hz、0.67 Hz）和液固耦合振型（52.57 Hz、71.22 Hz）。由于儲液晃動頻率與主振型頻率相差較大，可認為其互相不影響，因此兩質點模型僅考慮液固耦合振型的影響。根據圖5（a）中地震影響系數曲線可知，2種計算模型的自振周期均小于0.1，處于圖中T=0～0.1的直線上升段，且單質點模型的計算自振周期均大于兩質點模型，因此可知其動態系響應計算結果應大于考慮液體晃動的兩質點模型。

4 振動臺試驗與理論模型對比

選取第3節中臥式儲罐算例作為原型罐，以相同的幾何尺寸（1：1）及材料加工制作振動試驗模型罐，如圖6所示。由于模型關于原型罐相同，根據相似原理輸入的臺面地震波無需進行縮放處理。選取El Centro波及Taft波作為地震動輸入，PGA=0.2 g。儲液高度為H=1.5R。

圖6 臥式儲罐振動臺試驗Fig.6 Shaking table test of horizontal storage tank

試驗中采用位移傳感器及三向動態應變片采集液體晃動及鞍座底部剪應變，如圖7所示。其中D1為晃動波高測點，S1為鞍座底部應變測點。根據材料力學，理論分析時鞍座底部動態剪切應力可表示為：

圖7 數據采集測點Fig.7 Data acquisition measuring points

式中：Q為底部剪力；S y是橫切線一側的區域在剪切應力作用下相對于中性軸的靜態力矩；I s是鞍座橫截面的慣性矩；b是在所需剪切應力下的橫截面寬度。

圖8展示了El Centro波及Taft波作用下振動臺試驗與考慮液體晃動兩質點模型理論計算所得液體晃動波高的時程曲線。從圖中可以看出理論計算結果與試驗結果較為吻合，實測液體晃動頻率為0.778 5 Hz，而理論模型中液體晃動第一階振型的晃動頻率為0.79 Hz，兩者基本一致，說明液體晃動主要以第一階振型為主。表9、表10為晃動波高及鞍座底部剪切應變的峰值對比，從數據中可以看出兩質點模型計算結果更接近試驗數據，說明考慮液體晃動簡化力學模型能更加接近真實地反應臥式儲罐的地震響應。規范中單質點模型計算結果偏大，抗震設計更加保守。

圖8 晃動波高時程曲線對比Fig.8 Comparison of sloshing wave height time history curves

表9 晃動波高峰值對比分析Table 9 Comparative analysis of sloshing wave height and peak value

表10 鞍座底部剪應變峰值對比分析Table 10 Comparative analysis of peak shear strain at saddle bottom

5 結論

（1）基于臥式儲罐考慮液體晃動的雙質點簡化力學模型，與規范中不考慮儲液晃動的單質點計算模型進行地震響應對比分析。數值研究表明儲液晃動對臥式儲罐地震響應存在一定抑制作用，地震響應降低約10%～40%。

（2）兩質點模型計算結果更接近試驗數據。考慮液體晃動簡化力學模型能更加接近真實地反應臥式儲罐的地震響應。規范中單質點模型計算結果偏大，抗震設計更加保守。