接種和遷移的多斑塊傳染病模型生存性分析

黃裕淞，魏鳳英

(福州大學數學與統計學院，福建 福州 350108)

0 引言

傳染病在某個區域傳播后，會隨著人群的流動在不同區域開始傳播. 研究多斑塊傳染病模型的動力學特征十分必要，相關研究成果較為豐富. 例如利用非負矩陣的相關理論，結合圖論構造 Lyapunov 函數，進而探討傳染病模型的動力學行為[1-4]； 采用隨機過程刻畫傳染病模型的主要參數，討論多斑塊傳染病模型的滅絕與持久性生存問題[5-8].

疫苗接種后，人體獲得的免疫能力并非長久有效，因此，一些學者提出了臨時免疫并開展研究[9-12]. 結合個體遷移方面的研究工作[13-14]，假定接種人群在不同斑塊之間的流動不受限制，提出具有接種和遷移的SIV多斑塊模型：

(1)

1 解的存在唯一性

定理1的證明參照文獻[15]的定理1，此處略去.

證明 對于模型(1)，求出：

(2)

類似地，得到：

(3)

2 平穩的馬爾可夫過程

定理2假設(βkj)n×n是不可約的.若R0>1，且

(4)

(5)

(ω1,ω2, …,ωn)ρ(M0)=(ω1,ω2, …,ωn)M0

(6)

定義一個C2函數F:Γ→R，即：

F(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)=NW1+W2+W3+W4+W5

(7)

(8)

下面，定義一個C2函數W:Γ→R+∪{0}，即：W(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)=NW1+W2+W3+W4+

類似地，可得：

(10)

(11)

(12)

(13)

于是有：

(14)

其中:

(15)

定義有界閉集Uε如下：

(16)

k=1, 2, …,n.其中ε>0是一個充分小的常數.在集合ΓUε中，通過選擇足夠小的ε滿足：

(17)

為了驗證LW≤-1在ΓUε中總是成立的，把ΓUε分成4個部分：

(18)

情況1當(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)∈U3時，有：

(19)

情況2當(S1,I1,V1; …;Sn,In,Vn)∈U4時，則有：

(20)

所以，LW≤-1在ΓUε總成立，證畢.

3 感染者的滅絕性

定理3若

(21)

則每個斑塊的感染者數量都趨于零，K1見(5)式.

(22)

其中：

則有：

(24)

對不等式(24)兩邊同時積分并除于t，可得到：

(25)

其中：

(26)

上式是一個局部鞅，其二次變分為：

(27)

(28)

定理4假設(βkj)n×n是不可約的.若

(29)

則每個斑塊的感染者數量都趨于零，其中K1和K2見式(5).

其中：

(31)

于是有:

(32)

對式(32)兩邊積分并除于t，有：

(33)

這里

(34)

上式是一個局部鞅，其二次變分為：

(35)

(36)

4 數值模擬

圖1 模型(1)的感染者數量的模擬路徑 Fig.1 Paths of the number of the infected to model(1)

下面驗證定理2的充分條件.當β11=0.57,β12=0.5,β21=0.45,β22=0.5時，有：R0=2.959 3>1, 且

(37)

定理2的條件滿足，那么模型(1)存在平穩分布，疾病將流行，如圖1～2所示.

(a) S1的直方圖

(b) I1的直方圖

(c) V1的直方圖

(d) S2的直方圖

(e) I2的直方圖

(f) V2的直方圖

圖3 感染者滅絕性的模擬路徑Fig.3 Paths of the extinction of the infected

最后，驗證滅絕性的充分條件. 取β11=0.045,β12=0.03,β21=0.03,β22=0.045時，得到：

(38)

定理3和定理4的條件都滿足，因此疾病將會滅絕，如圖3所示.

5 結語

本研究討論了具有接種和遷移的多斑塊SIV傳染病模型(1). 首先證明了模型(1)的正解在任意正初值下的全局存在唯一性； 接著通過多組Lyapunov函數的構造，證明了模型(1)存在平穩的馬爾可夫過程(見定理2). 通過驗證滅絕性的充分條件，得到感染者數量將趨于滅絕的結論(見定理3～4)，最后應用數值模擬驗證了主要結果．