基于小波分形插值算法的大氣湍流波前畸變重構

馬圣杰， 王 勇， 郝士琦， 趙青松， 徐晨露， 魏 碩

(1.國防科技大學脈沖功率激光技術國家重點實驗室，合肥，230037；2.國防科技大學電子對抗學院，合肥，230037；3.電子制約技術安徽省重點實驗室，合肥，230037；4.32032部隊，北京，1000094;5.92118部隊北極星船，浙江舟山，316000)

1992年Allen等人首次發現渦旋光攜帶軌道角動量(orbital angular momentum,OAM)[1]，且攜帶不同模式OAM的渦旋光之間相互正交，并形成一個一維無限大的希爾伯特空間，能夠傳輸無限大比特的信息，可以有效地擴大通信系統的信道容量[2-4]。然而渦旋光在大氣中傳輸時不可避免會受到大氣湍流的影響，使得渦旋光波前發生畸變，導致接收端誤碼率增加，影響通信系統的性能[5]。為了確保通信的可靠性，可以對畸變的波前進行校正。

自適應光學(adaptive optics,AO)技術利用相位共軛原理或優化算法補償波前畸變進而對畸變進行校正[6]。根據系統結構的不同，可以分為有、無波前傳感器的AO系統[7]。有波前傳感器的AO系統對接收到的光束進行波前探測，獲得斜率信息，然后對波前進行重構，最后由波前校正器對畸變進行校正，因此波前重構的精度在很大程度上決定了校正效果。現有的波前重構算法有直接斜率法、模式法和區域法[8]。直接斜率法將波前傳感器探測到的信息與變形鏡的響應特性建立關系，通過擬合算法直接計算出控制電壓信號；模式法的基本原理是將波前展開成不同模式的加權疊加，然后通過探測器對波前斜率進行探測并計算出不同模式的加權系數，最后進行加權疊加，進而把波前相位信息重構出來；區域法則是直接基于各個子孔徑測得的波前斜率計算波前相位。

上述波前重構方法得到的重構波前精度不是很高，影響了校正效果，為了取得更好的校正效果，需要提高重構波前的精度。分形插值技術的一個基本特征就是能夠展示事物的精細結構，通過提取圖像的分形參數，可以實現在任意分辨率下生成逼近圖像，提高圖像的精度[9]。然而分形插值技術由于其平滑效應不可避免會造成高頻信息的損失，進而導致重構波前的誤差變大，為了解決這一問題，本文提出一種基于小波分形插值的波前畸變重構方法。

1 波前畸變自相似性分析

1986年Darnsley提出分形插值算法，該算法克服了傳統插值算法(如雙線插值、樣條插值等)引起的平滑效應，能夠有效提高圖像的分辨率和精度，目前該方法已經廣泛用于圖像處理等領域。為了驗證該方法可以用來提高大氣湍流引起的波前畸變重構的精度，本文首先對波前畸變進行自相似性分析。

A. P. Pentland等人研究表明自然界中大多數圖形服從分形布朗隨機(fractal Brownian random, FBR)模型[12]，FBR模型可以表示為：

E|BH(x+Δx)-BH(x)|2=E|BH(x+1)-

BH(x)|2|Δx|2H

(1)

式中：E|·|表示期望值函數，|·|表示取模運算符；BH(x)表示圖像上任意一點的像素值，x為像素點位置，Δx表示兩個像素點之間的距離；H為Hurst指數，用來描述分形圖像表面的粗糙程度。令σ2=E|BH(x+1)-BH(x)|2，則可將式(1)化簡為：

logE|BH(x+Δx)-BH(x)|2-2Hlog|Δx|=logσ2

(2)

通常采用相位結構函數(phase structure function, PSF)描述大氣湍流信道中波前畸變的空間統計特性，其定義為：

Dφ(r)=E[φ(ρ+r)-φ(ρ)]2

(3)

式中：ρ和r分別表示接收端波束表面的二維矢量。大氣湍流Kolmogorov功率譜對應的PSF表示為：

Dφ(r)=6.88(|r|/r0)5/3

(4)

式中：r0表示大氣湍流的相干長度。結合式(2)和(3)，大氣湍流的PSF函數可寫為：

logE|φ(ρ+r)-φ(ρ)|2-2Hφlog|r|=logσφ2

(5)

式中：Hφ=5/6，σφ2=6.88r0-5/3。式(5)與式(2)具有相同的表達形式，表明大氣湍流導致的波前畸變分布服從FBR模型，因此，采用分形插值方法提高重構波前畸變的精度具有理論上的可行性。

2 小波分形插值原理

分形插值的實質是一種遞歸中點的位移過程，其基本原理為[10]：

1)當像素點的坐標位置(x,y)均為奇數時，分形插值后的大小不變；

2)當像素點的坐標位置(x,y)均為偶數時，分形插值后的大小變為：

BH(x+1,y+1)+BH(x-1,y+1)]+

(6)

3)當像素點的坐標位置(x,y)為一奇一偶時，分形插值后的大小變為：

BH(x+1,y)+BH(x,y+1)]+

(7)

式中：gφ為高斯隨機數，且有gφ～N(0,σφ)；Δr為像素間距。

分形插值技術雖然能夠有效提高圖像的精度，但對圖像的處理并沒有涉及頻域信息處理，且存在高頻信息丟失的問題，本文結合小波變換和分形插值技術對畸變的波前進行重構。

小波變換具有多分辨率分解的能力，在圖像分解過程中利用濾波器和高通濾波器能夠將圖像包含的信息一層一層分解出來。M×N大小的圖像f(x,y)進行離散小波變換(discrete wavelet transform,DWT)公式為[11]：

(8)

式中：f(x,y)為原始圖像；j0為小波變換尺度；Wφ(j0,m,n)為尺度j0處的近似系數；φj0,m,n(x,y)為尺度函數。

二維離散小波變換過程見圖1上半部分。首先對圖像的每一行進行一維DWT，得到水平方向上的低頻分量L和高頻分量H，然后對變換后圖像的每一列進行一維DWT，得到4組分量，即低頻分量LL1，以及水平方向、垂直方向和對角方向的3組高頻分量LH1、HL1、HH1。二維DWT就是在一維DWT的基礎上對低頻分量LL1重復上述步驟，得到LL2、LH2、HL2、HH2這4個新的分量。

圖1 二維離散小波變換過程及小波分形插值原理圖

3 仿真結果及分析

圖2 原始波前

圖3 小波變換后的分量

圖4為經過小波分形插值后的低頻分量和高頻分量。對比圖3(a)和圖4(a)可以發現，主觀上看，低頻分量經過小波分形插值后圖像的分辨率有所提高，紋理信息和細節也更加精確。以對角方向的高頻分量為例，圖3(d)中高頻分量的紋理信息較模糊，且左上角還存在部分信息的丟失，圖4(d)中分形插值后的對角分量包含更多的紋理信息，左上角的信息有所增強，且插值后圖像具有更高的分辨率，包含更多的細節信息。根據上述分析，圖像經過小波分形插值后，其精度都有一定程度的提升，對高頻分量的提升較為明顯。

圖4 分形插值后的分量

圖5為使用傳統的最小方差估計(minimum variance estimation, MVE)算法[12]得到的重構波前，圖6為選取SymletsA小波系作為小波基，經過小波分形插值后得到的重構波前，對比MVE方法重構得到的波前，本文提到的利用小波分形插值重構得到的波前分辨率和精度有明顯的提高，紋理信息和細節也更豐富，能夠更好地還原原始波前的信息。

圖5 基于MVE算法的重構波前

圖6 基于小波分形插值算法的重構波前

本文選取灰度平均梯度[13](gray mean grads,GMG)以及均方根誤差(root mean square,RMS)衡量波前重構效果，通常情況下GMG越大重構圖像效果越好，RMS越小重構誤差越小。

(9)

(10)

式中：M、N為圖像f(x,y)的尺寸；fd(x,y)、fr(x,y)分別為畸變波前和重構波前。為減小隨機性的影響，本文取多次實驗的平均值，使用MVE方法得到的重構波前的GMG為0.065，經過小波分形插值后GMG增大到0.378 1，同時重構波前與原始波前的RMS也由3.249 2減小到0.635 1。數值計算結果表明使用小波分形插值算法得到的重構波前不僅提高了重構精度也減小了重構過程中的誤差。

有波前傳感器的自適應光學系統的校正性能除了與波前重構精度有關外，還與波前重構速度有關，波前重構速度越快，校正實時性越好。MVE算法重構波前耗時為1.142 s，而小波分形插值算法重構波前耗時為1.115 s，波前重構速度提高2.3%，進一步優化了系統的校正性能。

上述結果是選取SymletsA小波系作為小波基得到的，為了進一步比較不同小波系在小波分形插值中的性能，選擇了其余的幾個經典小波函數[13]進行小波分形插值處理，并計算出對應的GMG和RMS數值，具體結果如表1所示。

表1 重構波前與原始波前的均方根誤差

整體上看小波分形插值重構得到重構波前的RMS基本上都小于MVE方法，GMG都大于MVE方法，數值結果表明基于小波分形插值算法的重構波前在提高精度的同時也進一步減小了誤差。

另外采用不同的小波基時波前重構的效果也不一樣，從重構效果來看，使用Haar小波系時波前效果最差，其次是Biorthogonal、SymletsA、Coiflet，使用Daubechies小波基時重構效果最好；從重構誤差角度來看，采用Haar系列小波基時效果最好，其次是Biorthogonal、SymletsA、Coiflet，使用Daubechies小波基時效果最差。Daubechies(dbN)小波系是小波分析學者Inrid Daubechies構造的，除了db1即Haar小波外，其他的小波都沒有明確的表達式，且小波不具有對稱性，即在對信號進行分析和重構時會產生一定的相位失真，因此選取Daubechies作為小波基對波前進行重構時RSM較大。Coiflet小波系是Inrid Daubechies根據R.Coifman的要求構造的，具有coifN(N=1,2,3,4,5)這一系列的小波，Coiflet小波系波形接近對稱，因此選取Coiflet小波系作為小波基時，重構波前與原始波前的RSM小于Daubechies小波系。當使用同一個小波函數進行分解和重構時，不能同時滿足對稱性和重構精度的要求，而采用兩個函數則能較好地解決上述問題，Biorthogonal小波系在對波前進行重構時為了解決對稱性和精確信號重構的不相容問題，引入了雙正交小波，即采用一個函數對原始波前進行小波分解，然后采用另一個小波函數對波前進行重構，Biorthogonal小波函數通常可以表示為biorNr.Nd的形式，本文仿真采用bior4.4。Symlets小波系是Inrid Daubechies在Daubechies小波系的基礎上進行改進得來的，通常表示為symN(N=2,3,…,8)，與Daubechies小波系相比，Symlets小波系在連續性、支撐長度、濾波器長度等方面與Daubechies小波系一致，但Symlets小波系具有更好的對稱性，一定程度上能夠減少對信號進行分析和重構時的相位失真。

上述分析驗證了使用小波分形插值方法對波前重構的可行性，且與傳統的MVE方法相比，使用小波分形插值重構的波前不僅具有較高的分辨率，能夠更好地重構出原始波前的紋理信息和細節部分，而且重構的波前與原始波前的RMS也比MVE方法小，可以確保取得更好的校正效果。

4 結語

渦旋光在大氣中傳輸時不可避免會受到大氣湍流的影響，導致波前發生畸變，影響通信系統的通信性能，因此需要對畸變進行校正。有波前傳感器的自適應光學系統通過波前傳感器對波前進行探測從而重構波前，最后由波前校正器對畸變進行校正。然而現有的重構算法重構波前的精度較低，影響校正效果。為提高重構波前的精度，優化校正效果，本文提出一種基于小波分形插值算法的波前畸變重構。與傳統的MVE算法相比，本文方法明顯提高了波前重構的精度，GMG由0.065提高到0.765 4，且RMS也由MVE算法的3.249 2減小到了0.426 9，在提高精度的同時也進一步減小了波前重構的誤差。該方法對于提高重構波前精度，優化自適應光學系統校正性能有一定意義。