阿貝爾判別法的推廣

杜先云 任秋道

摘要：本文給出一般級數收斂的判定方法：若級數∑∞n=1bn的部分和有界，且{lim}n→∞bn=0，則級數∑∞n=1bn收斂.如果級數∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數收斂，且{lim}n→∞bn=0，則該級數收斂.同時推廣了級數收斂的阿貝爾判別法：當an為一個有界數列時，如果正項（或負項）級數∑∞n=1bn收斂，那么級數∑∞n=1anbn也收斂.當an為一個收斂數列時，如果級數∑∞n=1bn收斂，那么級數∑∞n=1anbn也收斂.

關鍵詞：級數;數列;收斂

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0029-03

1 級數收斂的判定

目前《數學分析》與《高等數學》的教材中，給出了級數收斂與發散的定義，以及收斂級數的一些性質，判斷正項級數收斂的比較多，而判斷一般級數收斂的方法，只有柯西收斂原理，方法很少.本文給出二種判斷一般級數收斂的方法，同時推廣阿貝爾定理.

定理1設xn為一個有界數列.ε>0，存在N∈Z+，當n>N時有 |xn-xn-1|<ε，則數列xn收斂.

證明 根據致密性定理可知，有界數列xn有一個收斂子列為xnk，因而存在常數a，使得{limk→∞}xnk=a.對于子列xnk某一具體的項xnk而言，其序號nk一定是有限數，從而存在有限數

M=max{nk+1-nk|k=1，2，3，……}<∞.（1）

根據已知條件，可得ε>0，m∈Z+，當n>m時，則有|xn-xn-1|<ε2M.由于{lim}k→∞xnk=a，對于前面的ε，K∈Z+，當k>K時，有|xnk-a|<ε2.取N=max{nK，m}，對于n>N，k0>K，使得nk0≤n≤nk0+1，由此可得

|xn-xnk0|=|xn-xn-1+xn-1-xn-2+…+xnk0+1-xnk0|≤|xn-xn-1|+|xn-1-xn-2|+…+|xnk0+1-xnk0|

<（n-nk0）ε2M≤（nk0+1-nk0）ε2M<ε2.

于是，|xn-a|≤|xn-xnk0|+|xnk0-a|<ε.

根據數列收斂的定義，數列xn收斂.證畢.

推論設級數∑∞n=1bn的部分和有界，且

{limn→∞}

bn=0，則該級數收斂.

證明設級數∑∞n=1bn的部分和xn=∑ni=1bi，根據題設，數列xn有界.

由于

{limn→∞}

bn=0，從而

bn=xn-xn-1→0，（n→∞）.

利用定理1可得結論.證畢.

定理2如果級數∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數收斂，且{lim}n→∞bn=0，那么該級數收斂.

證明在級數∑∞n=1bn的項添加括號過程中，如果存在一個括號里面有無窮多項，顯然它是級數添加的最后一個括號，根據級數的性質，去掉該括號前面所有的項，它的斂散性不改變，從而結論成立.現在假設添加的每一個括號里面只有有限多項.設級數∑∞n=1bn的項添加括號后所成的級數為（b1+b2+…+bn1）+（bn1+1+bn1+2+…+bn2）+…+（bnk+1+bnk+2+…+bnk）+….

設添加括號后所成級數的和為為t，記作∑∞k=1Snk=t.由于級數∑∞k=1Snk收斂，從而K∈Z+，其余項滿足∑∞k=KSnk|<1.令

M=max{nk+1-nk|k=1，2，3，…}<∞.

又因為{lim}n→∞bn=0，對于ε=1M，N1∈Z+，使得當n>N1時，有|bn|<1M.取N=max{nK，N1}.對于充分大的自然數n，k0∈Z+，使得N<nk0≤n≤nk0+1，則∑∞n=1bn的部分和Sn=∑ni=1bi滿足

|Sn|=|Sn1+Sn2+…+Snk0+（bnk0+1+bnk0+2+…+bn）|

≤|∑∞k=1Snk-∑∞k=k0+1Snk|+|bnk0+1|+|bnk0+2|+…+|bn|

≤|∑∞k=1Snk|+|∑∞k=k0+1Snk|+|bnk0+1|+|bnk0+2|+…+|bn|

≤|t|+1+n-nk0M≤|t|+2.

從而該級數的部分和有界.又{lim}n→∞bn=0，利用定理1的推論可得結論.證畢.

2 阿貝爾定理的推廣

阿貝爾引理設ai，bi（i=1，2，…，n）為兩組實數. 如果令σk=b1+b2+…+bk（k=1，2，…，n），那么有部分和公式

∑ni=1aibi=（a1-a2）σ1+（a2-a3）σ2+…+（an-1-an）σn-1+anσn.（2）

證明（a1-a2）σ1+（a2-a3）σ2+…+（an-1-an）σn-1+anσn=（a1-a2）b1+（a2-a3）（b1+b2）+…+（an-1-an）（b1+b2+…bn-1）

+an（b1+b2+…+bn）=a1b1-a2b1+a2（b1+b2）-a3（b1+b2）+…+an-1（b1+b2+…bn-1）-an（b1+b2+…bn-1）+an（b1+b2+…+bn-1）+anbn=∑ni=1aibi.

證畢.

根據阿貝爾引理可得：設ai（i=1，2，…，n）為單調數組，令M=max1≤i≤n{|ai|}，|σk|≤A（1≤k≤n），那么有

∑ni=1aibi<3MA.（3）

證明因為ai（i=1，2，…，n）為單調數組，不妨ai為單調遞減數組，則有

ai-ai+1≥0，i=1，2，…，n-1.

設因為M=max1≤i≤n{|ai|}，所以

|a1-an|≤|a1|+|an|≤2M.

又因為|σk|≤A（1≤k≤n），所以

|∑ni=1aibi|≤|（a1-a2）σ1|+|（a2-a3）σ2|+…+|（an-1-an）σn-1|+|anσn|

≤（a1-a2）|σ1|+（a2-a3）|σ2|+…+（an-1-an）|σn-1|+|an||σn|

≤（a1-a2）A+（a2-a3）A+…+（an-1-an）A+|an|A

≤[（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）]A+MA

=（a1-an）A+MA

≤（|a1|+|an|）A+MA

=2MA+MA

=3MA.

對于ai為單調遞增數組，結論類似，故結論成立.證畢.

定理3設ai，bi（i=1，2，…，n）為兩組實數，且存在M>0，有|ai|≤M，bi≥0（或bi≤0）.如果∑ni=1bi有界，那么∑ni=1aibi也有界.

證明因為bi≥0（或bi≤0），又∑ni=1bi有界，對于1≤k≤n，所以可設，|σk|=∑kj=1bj=∑kj=1|bj|≤∑nj=1|bj|=∑ni=1|bi|≤A.

在數集{1，2，…，n}上作一一映射f，即f（i）=j（i=1，2，…，n），并且相應地f（ai）=aj，f（bi）=bj（i=1，2，…，n），使得f（a1），f（a2），…，f（an）單調.根據阿貝爾引理的公式（3），可得

∑nj=1ajbj=∑ni=1f（ai）f（bi）

=∑ni=1aibi<3MA.（4）

因此，部分和∑ni=1aibi有界.證畢.

定理3說明，對非負（或非正）數組bi（i=1，2，…，n）為中每個數乘以一個有限數ai，它的部分和的有界性不改變.特別地，用aiM去換中的ai，可得

∑ni=1aiMbi<3A.

定理4 設an為一個有界數列.如果正項（或負項）級數∑∞n=1bn收斂，那么級數∑∞n=1anbn也收斂.

證明一方面級數∑∞n=1bn收斂，其部分和sn=∑ni=1bi有界，又數列an有界，根據定理2，級數∑∞n=1anbn的部分和為Sn=∑ni=1aibi有界. 另一方面級數∑∞n=1bn收斂，有{limn→∞}bn=0，且an為有界函數，從而{limn→∞}（Sn-Sn-1）={limn→∞}anbn=0.

根據定理1，數列Sn收斂. 從而級數∑∞n=1anbn收斂.

推論設an為一個有界數列.如果級數∑∞n=1bn收斂，且存在m∈N+，當n≥m時，bn≥0（或bn≤0），那么級數∑∞n=1anbn也收斂.

這是因為我們去掉級數前m項，不影響級數的斂散性.

定理5設an為一個收斂數列.如果級數

∑∞n=1bn收斂，那么級數∑∞n=1anbn也收斂.

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