函數思維在中學數學解題中的有效應用

孫高傳

摘要：中學數學的學習，不僅是讓學生掌握相關的數學知識，更是培養學生對數學知識的應用，使其具備一定的解題能力.而在中學生解題過程中，需要其具備一定的邏輯思維，促進其對相關知識的應用以及對問題的解析.函數思維是學生在完善數學知識及掌握數學規律過程中所形成的思維方式，可有效提升學生數學解題能力及解題靈活性.本文針對函數思維的特性，探討在中學數學解題方面函數思維的有效應用，并作為依據提出一定教學策略，以期促進中學數學教學成效的提升.

關鍵詞：函數思維;中學;數學解題

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0020-03

中學生在進行數學解題時離不開解題思維的建立，而解題思維是學生在進行數學知識學習及內化時所形成的解題思路.一般來說，中學生在進行數學解題時所具備的解題思維包含抽象思維及函數思維等，但函數思維是中學生解題過程的核心，也是中學生學習時的重點及難點，其不僅可以加強各數學對象的聯系，還可實現數學對象之間的轉化，促進學生對數學本質變化的了解，提升學生數學解題能力，使其具備更加靈活及豐富的解題思路，促進其數學知識運用能力的提升.

1 關于函數思想

1.1 國內外的研究現狀

解決數學問題的方法大家各顯神通，但函數思想在國內外數學專家的眼中仍占據不可小覷的重要地位.數學家王太青曾說，中學教學過程中函數思想的運用十分重要.無獨有偶，據國外學者們研究表明，函數作為一個備受數學家歡迎的概念，在教學實踐中，對學生困惑的“變量”與“常量”的問題，引起大家學習的熱潮.綜上所述，在中學的數學教材中，函數的思維占據很大的比重，構建學生的函數思維體系，搭建數學整體的知識網絡，是學生學習的重點.

1.2 國內教學大綱的要求

函數思想是數學思想中一種重要的思維方式，在教學中，也是一種重要的解題方式.在中學生學習函數的過程中，掌握函數相關的知識，可以幫助學生利用量變思維及函數思維分析問題，將數學問題進行巧妙的轉化、歸納，利用邏輯，實現快速解題的目的.掌握函數的相關知識，可以指導學生將函數作為一種思維工具，更加多元、全面的應對數學難題，從函數性質作為切入點，構建函數的模型，分析是否能從函數的角度突破壁壘，順利解決問題.

2 函數思維的特性

2.1 辯證性較強

函數思維隸屬于辯證思維，具有較強的辯證性.在探討各數學對象之間具備的聯系以及其是否存在一定轉化關系的過程中，加強對其辯證關系的了解，促進解題方法多樣性建設，提升學生對數學的動態感知能力，培養學生的鉆研精神，促進其解題能力的提高.

2.2 邏輯性較高

函數思維具有較高的邏輯性.相較于抽象思維而言，函數思維的邏輯性不僅強調其具有統一性及可調整性，還強調其應具有變化性，加強數與形的結合，推動二者關系的互相轉化，促進代數與幾何的聯系性的提高，助推解題思路的拓寬.2.3 變化性較多

函數思維具備的最基本特征就是變化性.函數思維具有一定的靈活性，可實現對各數學對象之間關系的反映，以函數的形式進行數學本質內涵的表達，提升其與數學發展的適應性，促進解題方法豐富性的研發.

3 函數思維在中學數學解題中的有效應用

3.1 函數思維在解方程題方面的應用

在解方程問題時，應以函數思維為指導促進已知關系與未知關系的轉化，將函數性質作為解題的工具，加強函數的構造，將該方程問題轉化為函數問題，促進解題方式的簡化.

例1已知a=3+3，b=3-3，求（2a2-12a+1）（3b2-18b+1）的值.

解析由已知條件可知a+b=6，ab=6，所以a、b為方程x2-6x+6=0的根.

當x=a時，a2-6a+6=0，2a2-12a+1=2（a2-6a+6）-11=-11

當x=b時，b2-6b+6=0，3b2-18b+1=3（b2-6b+6）-17=-17

由上可知（2a2-12a+1）（3b2-18b+1）=-11*（-17）=187.

3.2 函數思維在不等式解題方面的應用

在進行不等式解題時，通過對函數思維的利用，可加深學生對不等式意義及性質的了解，促進學生對不等式解題思路的掌握，提升其數學邏輯思維，加強圖形與數學的結合，促進學生對問題深刻含義的理解，提高學生的函數構造能力.

例2x屬于一些實數，而不等式x+1+x-2>m恒成立，求m的取值范圍.

解析根據該題目可設f（x）=x+1+x-2，若f（x）=1-2x，則x≤-1，若f（x）=3，則-1<x<2，若f（x）=2x-1，則x≥2，由此可知f（x）min=3，所以m<3.

在進行不等式問題解答時，可有效借助函數思維，將圖形與數學進行有機結合，促進對不等式問題的有效解答，實現數學思維的架構.

3.3 函數思維在二元函數解題方面的應用

在進行二元一次函數解題時，可通過對函數性質的充分掌握，有效結合函數思維，促進解題技巧的提升.

例3已知y與2x+1成正比例，當x=3時，y=10，求y與x的函數表達式.

解析因為y與2x+1成正比例，所以可設y=k（2x+1），將x=3，y=10代入所設公式，可得k=107，所以y=207x+107.在此過程中，因為正比例函數的特殊性，將函數思維帶入其中，促進求解目標的快速實現，加強學生對相關函數性質的了解及內化，提升學生對相關知識靈活運用能力的提升.

3.4 函數思維在數列解題方面的應用

很多數列問題的解題思路與函數思維息息相關，通過運用函數思維的分析思路，能幫助問題更加簡化，提高做題的效率.

例4已知的等差數列一共有10項，其中偶數項之和為40，奇數項之和為25，求公差.

解析此題可以將公差這個變量進行賦值，通過等差數列的定義，列方程組進行求解. 設等差數列的首相為a1，公差為d，根據題目，可以得到兩個方程式，分別是a1 +a3+…+a 9 =25和a2 +a4+…+a 10 =40，簡化后的方程組為a1 +4d=5和a1 +5d=8，從而學生可以得出結果a1=-7，d=3.

4 在不同解題方面培養函數思維的教學策略

4.1 加強方程與函數之間的聯系

在進行方程問題的解答時，將函數思維應用到其中，可有效促進問題解決程序的簡化，降低學生對數學知識掌握的難度，加強函數與方程的聯系，促進學生對相應問題思維導圖的構建，提升學生知識的運用程度，使其主動投身入問題的解答中，促進自身數學思維的拓展.因此，教師應充分掌握每節課的教學內容，促進課程的合理化安排，提升函數與方程的聯系，幫助學生架構合理的函數思維，引導其掌握構造函數的技巧，提高學生的想象力.

4.2 促進不等式中函數關系的明確

在進行數學不等式解題時，應加強對函數思維的利用，在掌握函數的定義域及值域等基礎上，進行零點及極值的探索，促進不等式問題的解決.一方面，教師應加強對函數關系的明確，促進學生對未知關系的掌握.另一方面，教師在進行不等式解題時，可加強其與函數圖像的聯合，使學生對其具有一定的直觀性，促進學生對解題條件的明確，使其充分了解題目的核心思想，提升將其轉化為函數的效率，實現以函數思維進行問題解答的目標，促進解題步驟的減少，避免對學生解題思維的限制，提升學生圖形與數學結合的能力，促進其學習水平的提高，從而充分展現相應的教學成果及成效.

4.3 加強對二元函數性質的掌握

二元函數具有較為復雜的性質及解題條件.為提升學生的解題效率，學生應提高自身的認知結構及認知水平，促進函數思維的升級.首先，教師應引導學生對二元函數表達形式的明確，加強對相應基礎知識的掌握，如對稱軸基本知識，圖像基本知識以及交點式等，對繁多的知識點予以梳理，對學生進行逐步的灌輸.其次，教師應促進二元函數復雜內容的簡化.教師應具備豐富的專業知識，明確如何對學生加以引導，建立一定的切入點進行教導，如函數性質等，促進學生對知識結構的合理建設，使學生逐漸明晰教學內容.

4.4 與數形聯系的解題思路

傳統的數學研究對象，一般分成兩個部分，分別是數與形，雖然兩者之間直觀感受并無相通之處，其實不盡然.數與形的結合或者形與數的鏈接，是尋找問題解決方式的最佳切入點，提供給學生解決數學思路的雙向路徑，所以教師需要教導學生在應對數學題目以及解決函數問題的時候，最好的方法是數形并用，在了解題干的同時，簡要畫出圖形，方便自己正確理解題目內容，高效繪制答案.

初中生的函數思維亦是如此，函數的定義概念勾勒出框架，而函數的性質展示函數的圖像，兩者之間缺一不可，教學過程中，培養學生數形的思維模式，借圖修文，不僅可以提高學生學習的積極性，還能培養學生的邏輯思考能力.

4.5 函數思維在生活中的應用

很多學生或家長認為，函數思維只應用于當前階段學生復雜的學習壓力上，對解決生活中的實際問題毫無幫助，其實不然，學科的題目也偏生活化，將考試問題與函數思想聯系起來，幫助學生建立場景，提高解題的效率.

總而言之，在進行數學教學時，不僅應注重學生對理論知識的掌握，更應注重學生對知識的應用，提高其知識應用的靈活性.教師應加強對函數思維的重視，并將其作為教學中的重點，促進教學方式的創新，加強學生函數思維的優化建設，促進教學質量的提升，還應加強對學生函數思維的訓練，強化教學手段，在教學過程中加強函數思維的滲透，引導學生架構科學性的數學思維，促進其解題效率的提升，加強對學生探究式學習的培養，提升其解題水平.

參考文獻：

[1]?曾美.初中數學函數教學的困境和突破[J].知識窗（教師版），2021（04）：114.

[2] 劉興建.初中數學函數學習的困難及突破方法[J].數學學習與研究，2021（08）：46-47.

[3] 鄭玉蘭. 新課程下高中函數教學設計改進與完善探討[A]. 福建省商貿協會.華南教育信息化研究經驗交流會2021論文匯編（十）[C].福建省商貿協會：福建省商貿協會，2021：4.

[4] 童繼紅.函數思維在中學數學解題中的應用研究[J].天津教育，2020（33）：147-148.

[5] 章青欽.分析函數思維在初中數學解題中的應用路徑[J].數學學習與研究，2020（09）：140.

[6] 徐維東.淺談初中數學教學中函數思維的培養方法[J].數學教學通訊，2020（02）：76-77.

[7] 楊玉玲.初中數學函數教學中學生邏輯思維的培養[J].中華少年，2019（17）：280.

[責任編輯：李璟]