多自由度系統對簡諧激振力響應的仿真分析

景帥 羅宇杰 曹宇博 趙梓旭 施佳晨

摘 要：實際工程結構中大多數均為多自由度體系，盡管其分析與二自由度系統振動分析并沒有本質區別，但隨著自由度數量的增多，分析步驟也越來越繁瑣。計算機技術和有限元技術的快速發展，使許多大規模復雜結構在任意激勵下的動態響應求解也更加可行。本篇首先闡述了解決多自由度系統響應問題的多種方式，介紹其優缺點與適用性，最后對振型疊加法展開了重點研究并展示運算流程。考慮到矩陣法形式簡單運算統一，故采用這一數學工具進行求解，具體過程包括建立多自由度系統振動微分方程、確定固有頻率與主振型、引入主坐標及正則坐標以及確定系統響應。MATLAB軟件的變量對象皆為矩陣且具有強大的算力并可直接輸出響應曲線，因此使用該軟件進行計算。

關鍵詞：簡諧激振力;振型疊加法;仿真

1 引言

一般來說工程中的實際問題所處理的機械系統均為多自由度振動系統，因為其復雜性通常需要采用連續模型才能加以進行描述，其所涉及的振動分析理論與偏微分方程理論也是十分復雜。很多情況下可經過一定的抽象過程將其簡化為有限多個自由度系統來進行研究。目前主流求解方法分為兩類即直接積分法與間接積分法，這兩類方法都有各自的優勢以及局限性。因此對待以上問題需要采用有效的求解方法，兼顧效率與成本。下面介紹求解系統振動響應的幾種方法及其各自的優缺點和適用范圍。

1.1 直接積分法求解

直接積分法其基本原理是在一定時間范圍內對系統所響應的時間歷程進行離散，將系統運動微分方程分解為各離散時間的運動微分方程，并確定在某個時間的運動位置、速度和加速度的近似表達式，再將表達式代入系統運動方程中，對相互耦合的系統振動方程進行逐步積分求解。直接積分法原理簡單概念清晰，不需要對振動方程進行簡化處理，只需輸入阻尼矩陣、質量矩陣、剛度矩陣等參數即可進行求解。該方法雖然操作簡單且精確度高，但是計算時間過長、效率過低且相比其他方法會占用大量的計算機資源，因此使用頻率并不高。

1.2 縮聚法求解

對復雜結構的系統進行動響應分析時，離散構造的自由度數目多、運算量過大。因此在確保一定計算精度的條件下，可以運用縮減技術對模型進行縮聚處理。該方法旨在通過適當的變換處理消除對系統整體振動響應影響微弱的自由度，以此來達到降低自由度、簡化計算量、提高效率的目的。縮聚法求解的局限在于如何尋找對系統影響微弱的自由度，自由度選擇錯誤則會大大地影響分析求解的精度。

1.3 振型疊加法求解

振型疊加法采用模態變換對原自由度系統的運動方程解耦得到非耦合的n個單自由度系統的運動方程。模態變換以求解廣義特征值問題為代價，對系統固有特性沒有影響，通過對n個單自由度系統運動方程積分，對比聯立方程組的直接積分更加節省時間。振型疊加法只適用于線性、時不變系統。對于激勵的高頻成分很微弱或者系統的高頻振動沒有激發出來等情況，系統的響應中只有較低的幾階振型分量，因此使用振型疊加法可以大幅度簡化計算量。

2 多自由度振動系統仿真模型的建立

多自由度振動系統的動力學模型如圖一所示。

4 仿真分析

如果給定多自由度系統（如圖1所示且不記阻尼）的參數以及簡諧激振力函數表達式，就可以利用下列程序得出系統的響應。設 ， ，振動位移為 、 和 ，并在質量 上作用激振力 ，其中 。

程序代碼如下：

clc;clear;

n=3;m1=1;m2=1;m3=1;k1=10000;k2=10000;k3=10000;k4=10000;

t=0：0.001：0.049;F1=0;F2=0;F3=10;F=[F1;F2;F3];p=125; f=F.*sin（p*t）;

M=[m1 0 0;0 m2 0;0 0 m3];

K=[k1+k2 -k2 0;-k2 k2+k3 -k3; 0 -k3 k3];D=inv（M）*K;[A lam]=eig（D）;

for i=1：n w（i）=sqrt（lam（i，i））; end w;

AF=[0 0 0;A;0 0 0];z=[0 0 0 0 0];plot（AF） hold on

ylabel（{'主振型振幅'}）;xlabel（{'距固定點距離'}）;plot（z）

for i=1：n Mzhu（i）=A（：，（i））'*M*A（：，（i））; end Mzhu;

for i=1：n Azhu（：，i）=A（：，（i））.*（Mzhu（i））^（-1/2）; end Azhu; Fzhu=Azhu'*F

for i=1：n Xzhu（i）=Fzhu（i）/（（w（i））^2-125^2） end

Xzhu; X0=Azhu*Xzhu'; X=X0.*sin（p*t）;

subplot（411），plot（t（1：50），f） ，grid;subplot（412），plot（t（1：50），X（1，：）） ，grid

subplot（413），plot（t（1：50），X（2，：）） ，grid;subplot（414），plot（t（1：50），X（3，：）） ，grid

運行程序后各階主振型如圖2所示，各階響應曲線如圖3所示。

由于激振力的頻率與系統二階固有頻率（ ）相似，因此在系統的穩態響應中，第二階主振型占據主導地位，此時系統近似于二階共振狀態。

5 結束語

當系統結構或外界激勵發生變化時，只需在程序中修改相關參數即可得到響應，依靠MATLAB軟件進行計算處理，過程簡潔直觀。

參考文獻：

[1]邱英.單自由度振動系統對任意激勵響應的仿真分析[J].科技廣場，2008（05）：8-9.

[2]康厚軍，叢云躍，郭鐵丁.《結構動力學》中多頻激勵多自由度系統穩態解的新方法[J].動力學與控制學報，2021，19（02）：91-98.

作者簡介：

景帥：（2000.12-），男（漢族），籍貫：遼寧省葫蘆島市，學歷：本科 ，單位：沈陽航空航天大學，職稱：學生;研究方向：飛行器動力工程。