利用常數變易法求解線性微分方程

◎李容星(湖北師范大學文理學院，湖北 黃石 435109)

一、引 言

沒有一階非齊次線性方程那樣的通解公式.本文主要利用降階法先求解對應的二階齊次線性方程，并把常數變易法推廣到求解二階非齊次線性方程中，得到二階非齊次線性方程的通解公式，以便于更方便地求解這種類型的方程.

二、一階線性方程的解法

定理1可分離變量的一階微分方程為

定理2一階齊次線性方程為

(1)

從而該定理得證.

利用該一階齊次線性方程的解可以求對應的非齊次方程.

定理3一階非齊次線性方程為

(2)

(3)

定理4伯努利方程為

其中n為常數，且n≠0,1.

令z=y1-n，于是得到關于z的一階線性方程：

例1求方程y′+2y=xe-x的通解.

例3 求方程y3dx+(2xy2-1)dy=0的通解.

解首先將其化為標準方程

解首先將其化為標準方程

解首先將其化為標準方程

三、二階線性方程的解法

定理5二階齊次線性方程為

(4)

則：

(1)如果y1(x),y2(x)是該方程的兩個解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)也是該方程的解，其中C1,C2為任意常數.

(2)如果y1(x),y2(x)是該方程的兩個線性無關的解，則y=C1y1(x)+C2y2(x)是該方程的通解，其中C1,C2為任意常數.

定理6二階非齊次線性方程為

(5)

如果y*是該方程的一個特解，Y是對應的齊次方程(4)的通解，則方程(5)的通解為y=y*+Y.

借助上述解的結構理論，可以求解二階線性方程.

定理7二階齊次線性方程為

(4)

證明：由y=y1(x)是方程(4)的一個非零解，于是

(6)

利用該二階齊次線性方程的解可以求對應的非齊次方程.

定理8二階非齊次線性方程為

(5)

(7)

(8)

(9)

從而該定理得證.

因此通解為y=y1u=C1(2x+1)+C2ex.

從而

因此通解為y=y1u=C1ex+C2x-(x2+1).

從而

因此通解為y=y1u=xln2|x|+C1xln|x|+C2x.

四、二階常系數齊次線性方程

定理9 二階常系數齊次線性方程為

(10)

其中p,q為常數，其特征方程為r2+pr+q=0，特征方程的解r1,r2稱為特征根，且有如下結論：

(1)如果r1,r2為不等實根，則該方程的通解為y=C1er1x+C2er2x.

(2)如果r1=r2為二重根，則該方程的通解為y=(C1+C2x)er1x.

(3)如果r1,r2=α±iβ為兩個復根，則該方程的通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

把er1x,er2x代入方程(10)中有

即er1x,er2x是方程(10)的兩個線性無關的解，由定理5可知y=C1er1x+C2er2x是該方程的通解.

因此該方程的通解為y=y1u=(C1+C2x)er1x.

(3)當r1,r2=α±iβ為兩個復根時，y1=er1x,y2=er2x同樣是方程(10)的兩個線性無關的解.由歐拉公式，得

由解的結構理論，得

也是方程(10)的解，因此該方程的通解為y=eαx(C1cosβx+C2sinβx).

例11求方程y″-2y′-3y=0的通解.

解特征方程為r2-2r-3=0，特征根為r1=-1,r2=3，從而通解為y=C1e-x+C2e3x.

例12求方程y″+2y′+5y=0的通解.

解特征方程為r2+2r+5=0，特征根為r1,r2=-1±2i，從而通解為y=e-x(C1cos 2x+C2sin 2x).

五、結 語

求解線性方程是常微分方程中一個非常重要的工作，在數學及其他實際問題中，可以將非線性的問題近似為線性問題，通過其通解公式可以獲得比較簡潔的解答.在第一部分中，本文利用變量分離法來求解一階齊次線性方程，并用常數變易法求解一階非齊次線性方程，得到了一階線性方程的通解公式，并給出了相關的應用.在第二部分中，本文利用降階法求解二階齊次線性方程，并把常數變易法推廣到求解二階非齊次線性方程中，得到了二階線性方程的通解公式，并給出了相關的應用.本文旨在把常數變易法從低階方程推廣到高階方程，讓學生意識到，只要掌握好該思想，就能夠得到線性方程的通解公式.