關于函數零點的存在性證明的討論

2022-07-12 02:54:12劉順琴廈門大學嘉庚學院福建漳州363105

數學學習與研究 2022年11期

◎劉順琴(廈門大學嘉庚學院，福建漳州 363105)

高等數學是高等學府里理工科學生的必修科目之一，在理工類學生的專升本考試或者研究生入學考試當中，也是必考科目之一.由此可見，高等數學十分重要.

高等數學以函數為核心，系統地介紹了函數的極限、導數、導數的應用、不定積分、定積分、微分方程、空間解析幾何及多元函數的微積分等內容.高等數學作為一門研究函數的學科，有很多經典的問題.本文主要從應用零點定理展開的證明、應用微分中值定理展開的證明、利用單調性證明根的個數三方面進行總結和討論.

一、應用零點定理展開的證明

閉區間上的連續函數具有很多的特殊性質，比如最值定理、介值定理、有界性定理，還有零點定理(根的存在性定理)，其中零點定理就可以用來證明函數在給定區間上有零點.

零點定理：設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)f(b)<0，

則在開區間(a,b)內，至少存在一個ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0.

該定理的條件和結論都比較簡單，在幾何上也是非常直觀的，所以利用該定理來證明，思路簡單、直接.

利用零點定理證明零點的存在性的步驟：

第一步：構造閉區間上的連續函數；

第二步：驗證閉區間上的連續性和端點函數值的異號性；

第三步：得出結論.

例1證明方程x=asinx+b(a>0,b>0)至少有一個正根，并且它不超過a+b.

證明：該題相當于證明函數f(x)=x-asinx-b在開區間(0,a+b]內至少有一個零點.所以證明如下：

令f(x)=x-asinx-b,則根據初等函數在有定義的區間內都連續，可以得出f(x)=x-asinx-b在閉區間[0,a+b]上連續，且

f(0)=0-asin 0-b=-b<0，f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)].

由于sin(a+b)≤1，所以下面分兩種情況討論：

情況一：sin(a+b)=1.

若sin(a+b)=1,則f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]=0，則x=a+b為方程所要求的不超過a+b的正根；

情況二：sin(a+b)<1.

若sin(a+b)<1,則f(a+b)=(a+b)-asin(a+b)-b=a[1-sin(a+b)]>0，此時

f(0)f(a+b)<0，根據零點定理，在開區間(0,a+b)內，存在一個f(x)=x-asinx-b的零點，即x=asinx+b在開區間(0,a+b)內有一根.

綜上，該題得證.

證明該題的時候，要注意分類討論，零點定理只是其中的一種情況.

二、應用微分中值定理展開的證明

在函數的導數部分，有三個非常重要的微分中值定理：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西定理.這三個定理都可以用來證明函數的導函數在給定區間內有根，其中以羅爾定理的應用最為典型.

羅爾定理：設函數f(x)滿足：

(1)f(x)在閉區間[a,b]上連續，

(2)f(x)在開區間(a,b)內可導，

(3)f(a)=f(b)，

則在開區間(a,b)內至少存在一個ξ，使得f′(ξ)=0.

該定理區別于零點定理，首先條件要求更高，結論也發生了比較大的變化，是由原函數的性質推導出來的導函數的零點的存在性.該定理在直觀上可以描述為連續可導的函數的兩個等高點之間至少有一個導函數的零點.

例2設f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100)，不求導數，判斷f(x)的導函數有幾個零點.

解：根據初等函數的連續性和可導性可知，函數

f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100)在(-∞,+∞)上任意點連續且可導，且易知

f(0)=f(1)=f(2)=…=f(100)=0，則在(0,1)內，至少存在ξ1，使得f′(ξ1)=0；同理在(1,2)內、在(2,3)內、…、在(99,100)內，均各有一個使f′(x)=0的x，注意到這些區間互不交叉，所以f′(x)至少有100個零點；

又由于f(x)是101次多項式，所以f′(x)是100次多項式，根據多項式的零點理論可知，f′(x)至多有100個零點.

綜合上面兩種情況可知，f′(x)恰好有100個零點.

事實上，根據上面的討論過程，我們還可以知道f″(x)恰好有99個零點，f?(x)恰好有98個零點，f(n)(x)(1≤n≤100)恰好有(101-n)個零點.

該題的題意清晰，證明難度較低,我們接著來看例3.

例3設f(x)在[0,a]上連續，在(a,b)內可導，f(a)=0,0

思路：該題相當于證明2f(x)+xf′(x)在(a,b)內有零點，顯然直接使用零點定理條件不足，考慮使用羅爾定理，此時2f(x)+xf′(x)的原函數在直觀上求不出來.這種情況一般可以描述為：

這就轉化成了證明函數

下面用該思路來證明例3.

有時候，證明函數在區間[a,b]內有零點，可以轉化為證明函數在包含在[a,b]的小區間內有根.比如下方的例4.

例4已知函數f(x)在區間[0，1]內二階可導，且f(0)=f(1).證明：存在ξ∈[0，1]，使得(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ).

證明：由題設f(0)=f(1)和f(x)在區間[0，1]內二階可導易知，f(x)在區間[0，1]上滿足羅爾定理，所以存在a∈(0，1)，使得f′(a)=0.

另外由結論(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ)，我們希望構造函數(1-x)f″(x)-3f′(x)的原函數，這在直觀上是不好求的，令u(x)=(1-x)2，則u(x)[(1-x)f″(x)-3f′(x)]=(1-x)3f″(x)-3(1-x)2f′(x)的原函數是好構造的，令F(x)=(1-x)3f′(x)，則F(a)=F(1)=0，且易知F(x)在區間[a，1]上滿足羅爾定理的條件，則存在ξ∈[a，1]，使得F′(ξ)=(1-ξ)3f″(ξ)-3(1-ξ)2f′(ξ)=0，即(1-ξ)3f″(ξ)=3(1-ξ)2f′(ξ)，又因為(1-ξ)2>0，所以(1-ξ)f″(ξ)=3f′(ξ)，該例題得證.

關于函數的構造，經常考慮利用兩個函數的零點.

例如f(a)=g(b)=0,則構造F(x)=f(x)g(x),F(x)滿足F(a)=F(b)=0.例4已經充分說明了這一點：f′(x)滿足f′(a)=0，g(x)=(1-x)3滿足g(1)=0，所以構造了F(x)=f(x)g(x)=(1-x)3f′(x).

在學習了定積分之后，會出現證明含有定積分和導數的方程的根的存在性的問題.