極限的應用

◎杜 娟(山西省工業管理學校,山西 太原 030012)

1 引 言

1.1 e在某些方面的應用

2 e的近似計算及應用

2.1 數e是無理數的幾種證明方法

定理1 常數e是一個無理數.

所以,

那么有

于是，

因此，e只能是一個無理數.

如果利用ex的泰勒展開式，我們還可以有另一種證法：考慮如果e是有理數的話，那么e-1也是一個有理數.

證法2 由ex的泰勒公式得

于是，

從而e-1只能是一個無理數，所以e也只能是一個無理數.

2.2 與e有關的不等式

2.2.1 與e有關的數列不等式：

問題：求出使得下列不等式成立的最大值α和最小值β：

解：對于上面的不等式，兩邊取以e為底的對數得

(1)

(2)

下面我們來證明f(x)是一個嚴格的單調減函數.對f(x)求導得

(3)

我們來證明：

(1+x)ln2(1+x)

(4)

即要證：

(5)

又g(0)=0，因此g(x)>0,x∈(0,1].

從而，(5)式成立.

將(5)式的結果代入(3)式得f′(x)<0,x∈(0,1].

因此，f(x)在(0,1]上是一個嚴格的單調減函數.

于是，

(6)

(7)

求解完畢.

2.2.2 證明對于所有的n>1，有如下的不等式成立:

(1)

證明：下面的式子是等價的:

(2)

(3)

(4)

(5)

這樣，我們在不等式(5)兩邊同時乘-1，得到等價式子：

(6)

注意到

將上式代入不等式(6)中，得到

注意到k>1時，k

證明完畢.

2.3 數e的廣泛應用

2.3.1 在極限中的應用

當n≥2時，

證明：由2.1中的證法1，

于是，

=ln(n+1)-lnn>0.

這說明數列{bn}單調減少有下界，從而收斂.

注：{bn}的極限γ=0.57721566490…稱為Euler常數.

2.3.2 在級數中的應用

證明：最簡單的是用數學歸納法.

當k=1時，

命題成立.

那么，當k+1時，有

則Fk+1也是e的整數倍.

于是，我們就有

3 參考公式

定理1(夾逼準則) 如果數列{xn}，{yn}，{zn}滿足下列條件：

(ⅰ)xn≤yn≤zn(n=1,2,3……),

定理2(單調有界準則) 單調有界數列必有極限.

進一步，由

得到

由k的任意性，得到