一類高維波動方程和熱傳導方程Cauchy問題的簡易解法

◎喬 雨 匡 超 蔣思楊(陜西師范大學數學與統計學院,陜西 西安 710119)

1 引 言

偏微分方程起初源于對物理與幾何問題的研究，用來描述諸如振動弦與流體等物體的機械行為.現今在諸多數學分支,例如調和分析、泛函分析、微分幾何與指標定理等領域，偏微分方程都被廣泛地研究和應用.在本科階段的課程中，偏微分方程主要是學習波動方程、熱傳導方程與位勢方程的求解方法.其中波動方程和熱傳導方程，通常用Poisson公式和Poisson積分進行求解，但計算較為復雜.疊加原理在微分方程的求解中起到了非常重要的作用.在常微分方程中，非齊次線性常微分方程的解可以分解為對應的齊次方程的通解和一個特解之和.同樣，疊加原理對于(線性)偏微分方程的求解也很重要，在許多非齊次邊界條件的問題中也有著廣泛的應用.本文旨在探索應用疊加原理簡化一類問題求解步驟的方法，可以在教學過程中加深學生對疊加原理的認識與理解.

本文首先討論了在齊次情況下，利用疊加原理與達朗貝爾公式對一類高維波動方程Cauchy問題進行降維的方法.之后根據齊次化原理討論了非齊次情況下的降維方法.最后討論利用類似方法對一類熱傳導方程的Cauchy問題進行求解.

2 齊次高維波動方程的Cauchy問題

對于齊次高維波動方程的Cauchy問題：

(2.1)

我們考慮在什么條件下可將上述方程拆解為如下三個一維方程：

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.2)

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.3)

(t>0,(x,y,z)∈R3)

(2.4)

這樣拆解的優點是方程(2.2)～(2.4)是一維方程.而我們已經知道一維波動方程可采用達朗貝爾公式進行求解.

引理1(達朗貝爾公式) 一維齊次波動方程：

的解為：

對于二維以上的情況，下述定理給出了一個充分條件，使得方程(2.1)的求解可轉化為方程(2.2)～(2.4)的求解.

定理1 (疊加原理)若齊次高維波動方程(2.1)滿足下述條件：

(1)疊加關系：φ(x,y,z)=φ1(x,y,z)+φ2(x,y,z)+φ3(x,y,z),ψ(x,y,z)=ψ1(x,y,z)+ψ2(x,y,z)+ψ3(x,y,z).

(2)線性關系：φ1(x,y,z),ψ1(x,y,z)關于y,z線性；φ2(x,y,z),ψ2(x,y,z)關于x,z線性；φ3(x,y,z),ψ3(x,y,z)關于x,y線性.

則方程(2.1)的解為方程(2.2)～(2.4)的解之和.

證明：只需驗證u(x,y,z,t)=u1(x,y,z,t)+u2(x,y,z,t)+u3(x,y,z,t)是方程(2.4)的解即可.對于初值條件顯然滿足；對于方程來說：utt=u1tt+u2tt+u3tt，且φ1(x,y,z),ψ1(x,y,z)關于y,z是線性的，根據引理1，則u1(x,y,z,t)關于y,z是線性的；同理可得φ2(x,y,z),ψ2(x,y,z)關于x,z是線性的，則u2(x,y,z,t)關于x,z是線性的；φ3(x,y,z),ψ3(x,y,z)關于x,y是線性的，則u3(x,y,z,t)關于x,y是線性的.故uxx=u1xx,uyy=u2yy,uzz=u3zz，utt=u1tt+u2tt+u3tt=a2(u1xx+u2yy+u3zz)，所以utt=a2(uxx+uyy+uzz)，即方程(2.4)的解為u(x,y,z,t)=u1(x,y,z,t)+u2(x,y,z,t)+u3(x,y,z,t).證畢.

例1求解下面波動方程的Cauchy問題：

解:由定理1，得方程的解等于下列三個方程解之和：

利用引理1可得這三個方程的解分別為

u1=x3+3a2xt2，u2=z(x2+a2t2)，u3=0，

從而原方程的解u=u1+u2+u3，即u(x,y,z,t)=x3+x2z+a2t2z+3a2t2x.

3 非齊次高維波動方程的Cauchy問題

對于非齊次的情況，我們首先根據齊次化原理給出一維非齊次波動方程的求解公式.

引理2 對于一維非齊次波動方程:

利用齊次化原理可得方程的解為

因此，對于非齊次高維波動方程的Cauchy問題

由定理1與引理2，我們可以將上述方程拆解為一維齊次方程與非齊次波動方程，從而由疊加原理求出該方程的解.下面給出幾個具體例子.

例3求解下面非齊次方程的Cauchy問題：

解：該方程的解等于下列方程的解之和：

4 高維熱傳導方程的Cauchy問題

一維熱傳導方程的Cauchy問題可采用傅里葉變換得到求解公式.對于二維或更高維數的情形，盡管可利用高維傅里葉變換得出相應的求解公式，但是計算量較大.在下面的討論中，我們將對一類具有特定條件的高維熱傳導方程的Cauchy問題，利用疊加原理將其拆分為一維情形進行求解.

引理3 一維熱傳導齊次方程：

的解為

類似于波動方程的情況，我們對熱傳導方程給出如下解的“乘積原理”.

定理2 對于二維熱傳導齊次方程：

若函數φ滿足拆分條件φ(x,y)=φ1(x)φ2(y)(即φ1(x),φ2(y)分別與y,x無關)，那么此Cauchy問題的解為u(x,y,t)=u1(x,t)u2(y,t)，其中u1(x,t),u2(y,t)分別為如下兩個方程的解：

所以u(x,y,t)=u1(x,t)u2(y,t)是定理2中方程的解.

解：根據定理2，該方程的解等于以下兩個方程的解之積：

u1(x,t)=sinxe-t,u2(y,t)=sinye-t，

所以u(x,y,t)=sinxsinye-2t.

對于高維非齊次熱傳導方程的Cauchy問題，可利用齊次化原理轉化為高維齊次熱傳導方程的Cauchy問題，若滿足定理2的條件，則可轉化為低維方程進行求解，這里不做過多闡述.