揭示素數分布規律的階準素數模型簡介

◎馮軍剛 朱彥通(西安石油大學機械學院,陜西 西安 70065;卡內基梅隆大學,賓夕法尼亞州 匹茲堡 5)

1 引 言

在后文參考文獻[1]中，已經出現了“pn階準素數模型”的雛形，只是沒有系統地建立過該模型，且因其中的誤差項，對誤差界值論證過粗、估計過大、嚴重失真，致使該式失去了定量計算的意義，從而使該式一直被束之高閣.該式實際上就是計算不大于x的pn階準素數數目πn(x)的上、下限的.其原型是：

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在該式中：π(y)表示不大于y的素數的個數，本文設其為n，并將第n個素數記為pn，那么，π(y)便可用n取代；1+Φ(x;y)表示的是[0,x]上，篩去含有不大于y的素數因子的合數，所存留下來的正整數(本文稱之為 “pn階準素數”)的個數.于是，式(1)便被表示為：

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2 pn階準素數模型的特性簡述

圖1 [0,30]上的素數篩網示意圖和素數元素分布圖

圖2 p3階準素數第一個周期上的三層篩網示意圖和準素數的分布圖

圖3 (1)階梯線π3(x)—A ；(2)直線(3)折線

π(x)=πn(x)+(n-1)；

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3 以素數“前密后疏”為鏡鑒，證明誤差δn(x)不大于n

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4 pn階準素數模型的應用舉例

4.1 定量計算素數數目π(x)的上、下限及其底線，證明素數數目的無窮性

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4.2 雙篩計算“特定素數對”數目λ(x)及其底線，具結相關課題之證明

對于“單合數對”而言，這恰好將其減去了1次.但對于“雙合數對”而言，它卻被減去了2次，多減了1次.雙篩計算的結果，一般只能是“雙素數對”數目的不足近似值,只有x較小、“特定準素數對”中不存在“雙合數對”時，才能更貼近真值.

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4.2.1 計算“和等于偶數x的特定素數對”：“1+1”的數目λ1(x)的底線，證明任意偶數一定存在“素分割對”

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根據文獻[1]第379頁定理5的結論，當x→∞時，則有：

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式(12)(15)證明：對于任意偶數x，其素分割對“1+1”的數目的底線是x的遞增函數；x足夠大以后的任意偶數，都一定有素分割對“1+1”存在.

4.2.2計算差等于2的特定素數對——孿生素數在[0,x]上的數目λ2(x)的底線，證明孿生素數的無窮性

奇數序列雖是篩選“1+1”的“雙篩始序列”，但并非篩選“孿生素數對”的“雙篩始序列”.因為每個奇數與其前后緊鄰的兩個奇數，都構成了“孿生奇數對”，它們顯然不是相互獨立的，篩掉中間這個奇數，就篩掉了兩對“孿生奇數對”，而“雙篩計算”卻只減掉了一對.用p2階篩網繼續單篩奇數序列，所得的p2階準素數序列，才是篩選“孿生素數對”恰當的“雙篩始序列”.因為p2階準素數周期為6，每個周期內只有兩個準素數元素，分別緊挨著前后端點.如此每個p2階周期端點兩側的兩個準素數(如5和7)，皆構成了一對獨立的、差為2的“孿生準素數對”.所以，用λ2(x)表示差為2的“孿生素數對”的數目，在式(11)中，代入雙篩起始序號k=3，得：

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