一道“恒成立問題”模擬題的解法探析

◎周聰寅(云南師范大學數學學院，云南 昆明 650500)

1 問題呈現

(1)若x=1為函數f(x)的極值點，求a的值.

(2)若|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立，求a的取值范圍.

通過讀題，第二小題中“|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立”為恒成立問題中非常經典的表述，因此第二小題是一道非常經典的恒成立問題.本文將從四個不同的角度破解該恒成立問題.

2 思路分析

由于題中的不等式中含有絕對值，且含絕對值的問題較為棘手，一般首先考慮去絕對值.

解法一：最值分析法

∴g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a).

首先考慮同向性：

(1)當a≤0時，

由于x∈[0,2]，易知g′(x)=(3ex-2a)(6xex+3ex-2a)>0，

∴g(x)在[0,2]上單調遞增,

gmax(x)=g(2)=2(3e2-2a)2，

∴2(3e2-2a)2≤36e2，

∵a≤0，∴此時a∈?.

(2)當a>0時，

令h(x)=6xex+3ex-2a,易知h(x)在[0,2]上單調遞增，

∴3-2a=h(0)≤h(x)≤h(2)=15e2-2a.

h(x)≥0,3ex-2a≥3-2a≥0，

此時gmax(x)=g(2)≤36e2,

h(x)≤0，3e2-2a<3e2-15e2=-12e2<0，

∴g′(x)≥0，此時gmax(x)=g(2)≤36e2，

?x0∈[0,2]，使得h(x0)=6x0ex0+3ex0-2a=0，

則有3ex-2a≤0，∴g(x)在[0,x0)上單調遞增，在(x0,2]上單調遞減，

∴gmax(x)=g(x0)=x0(3ex0-2a)2=x0(-6x0ex0)2≤36e2(利用h(x0)=0替換)，

解得：0≤x0≤1.

∵3ex1-2a=0，6x0ex0+3ex0-2a=0，

兩式相減得：3ex1-3ex0=6x0ex0>0，

點評：最值分析法是恒成立問題的常用解法之一，常需要構造差值函數，例如：對于含參不等式af(x)≤g(x)，需要構造F(x)=af(x)-g(x)，只要令Fmax(x)≤0即可求得a的取值范圍，這種方法往往伴隨著分類討論出現，學生容易漏解.另外，從以上解題過程來看，該題利用該方法時運算量較大，對學生的邏輯推理能力水平要求較高.

解法二：分離參數法

根據解法一可以發現，如果用不等式兩邊平方來去絕對值，不容易將參數a分離，因此考慮利用解絕對值不等式的方法去絕對值.

∵|f(x)|≤6e,

若x=0，則不等式恒成立；若x≠0，則分離參數a可得：

易知g′(x)在(0,2]上單調遞增，且g′(1)=0,

∴g(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,2]上單調遞增,

易知h(x)在(0,2]上單調遞增,

點評：顯然，該題利用分離參數法更加簡單，利用分離參數法解決恒成立問題流程單一，思路簡單，學生較容易理解，但部分題目參數不容易分離，因此分離參數法對于這種題適用范圍不大.

解法三：數形結合法

圖1

點評：一般地，若f(x)≤g(x)恒成立，從圖形上理解即為f(x)的圖像恒在g(x)的下方，利用數形結合法解恒成立問題較之前的方法來說不再抽象，更加直觀.但缺點也更加明顯，其過于依賴圖像的精確性，若圖像不夠精確便容易解出錯誤的答案.此外，數形結合適用于每個函數圖像都容易畫出的情形，所以要盡可能地將不等式的兩邊化為容易畫出圖像的函數.

解法四：特殊點效應，必要性探路

∵|f(x)|≤6e在x∈[0,2]上恒成立，

∴|f(1)|≤6e，|f(0)|≤6e，|f(2)|≤6e也成立，

∴|g(x)|≤6e恒成立，同理可得|h(x)|≤6e,

3 解后反思

以上就是解決恒成立問題的四種常用方法，在實際考試中，我們需要根據解題經驗選取合適的解題方法.就本題而言，方法一顯然過于煩瑣，如果我們一開始就從解法二、三、四的角度思考該問題，便能感到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”.

恒成立問題作為高考中的常見題型，常常以不同的形式與載體出現，但萬變不離其宗，抓住恒成立問題的本質，歸納常用方法，定能勢如破竹地解決恒成立問題.

本文以恒成立問題為例，希望說明：解百題不如透解一題.在平時的教與學中，教師如果能夠抓住典型例題，一題多解，多題歸一，引導學生從不同的角度思考問題，往往能夠發展學生的創造性思維，減輕學生的學習負擔，提高學生的學習效率，培育學生的核心素養.