關于數(shù)學教師教育專業(yè)課程教學模式的思考
——以“中學數(shù)學解題”為例

◎陳少林 張 蕓 陳 芳(衡陽師范學院,湖南 衡陽 421002)

1 引 言

教育部在《關于實施卓越教師培養(yǎng)計劃2.0的意見》中指出：要在2035年之前培養(yǎng)和造就數(shù)以十萬計的骨干教師、數(shù)以十萬計的卓越教師、數(shù)以萬計的教育家型教師.全國很多師范本科院校都是此卓越計劃的參與者，作為師范本科院校的數(shù)學教師，我們將專注于中學數(shù)學卓越教師的培養(yǎng).眾所周知，培養(yǎng)一名卓越的中學數(shù)學教師是一個復雜的系統(tǒng)工程，而師范本科院校就是這個復雜系統(tǒng)工程的總設計師.成為一名卓越的中學數(shù)學教師，首先要有高尚的師德；其次要有高超的解決數(shù)學問題的能力和精湛的現(xiàn)代化教學藝術，最后還要具備一定深度的且與中學數(shù)學教學活動相關的教育學和心理學知識等.著名數(shù)學家P.R.Halmos認為：問題是數(shù)學的心臟，解決數(shù)學問題是數(shù)學家存在的理由.著名數(shù)學家G.Polya也曾指出：善于解題是掌握數(shù)學的標志.因此，要想培養(yǎng)出卓越的中學數(shù)學教師，除了高尚的師德，最重要的就是要解決如何培養(yǎng)數(shù)學類師范專業(yè)本科生的數(shù)學思維和高超的數(shù)學解題能力的問題.從教育學的角度來講，要培養(yǎng)什么樣的人才，課程是重要的實現(xiàn)途徑之一.課程不僅是教育的橋梁，也是教學的靈魂.因此，我們要對教育進行改革，就必須對課程教學進行改革.類似于“中學數(shù)學解題”等實踐類課程是高等師范院校數(shù)學教師教育課程體系中必不可少的一部分.本文主要討論“中學數(shù)學解題”課程的教學改革問題.

2 教學模式的探究

數(shù)學類師范專業(yè)本科生和中學生的知識水平、理解能力、認知結構和接受新知識的能力都存在很大的差異，而且兩者的培養(yǎng)目標也是不同的，因此教學方法應該也有很大的差異.雖然2001年教育部就印發(fā)了《普通高中研究性學習實施指南(試行)》，但是目前全國大多數(shù)中學數(shù)學教學模式仍然以教師講授為主.要想在普通高中數(shù)學教學中普遍開展研究性學習，師資是關鍵.要培養(yǎng)具備這樣素質的高中數(shù)學教師，高等師范院校有著義不容辭的責任.我們將以“中學數(shù)學解題”為載體，培養(yǎng)數(shù)學類師范專業(yè)本科生指導學生進行研究性學習的能力.下面本文將以“中學數(shù)學解題”為例，探討如何在數(shù)學類師范專業(yè)本科生中開展研究性學習.

2.1 選擇適當?shù)膯栴}進行深度解題教學

為了尋找合適的問題，教師應考慮如下幾個方面的內容.首先，教師應該對授課對象的知識儲備和認知水平有一定的了解.數(shù)學類師范專業(yè)本科生一般在大三第二學期才開設類似“中學數(shù)學解題”這樣的課程，此時，他們幾乎已學完了數(shù)學專業(yè)必修基礎課程，大部分同學已具備了一定的數(shù)學專業(yè)素養(yǎng).其次，教師要盡可能選擇既具有中學數(shù)學背景，又與大學某個(或某些)數(shù)學課程的內容相聯(lián)系的問題，那樣更能提高學生進行研究性學習的興趣.再次，教師選擇的問題要有代表性且難度要適中.如果太難將不易激發(fā)學生的積極性，反之，如果太容易將沒有任何挑戰(zhàn)性，且研究性學習也將失去意義.一旦選定合適的問題之后，我們建議提前布置任務給學生，并允許他們查找相關資料以及組隊研究.最后，教師應該至少從如下3個維度對學生進行引導.

表1 解題維度表

2.2 以2001年的一道全國理科數(shù)學高考題作為深度解題案例

問題1 已知m,n是正整數(shù),且m(1+n)m[2001全國統(tǒng)一數(shù)學試卷(理科)第20題].

表2 要完成的任務

為了完成上述任務，我們將班級同學分成3人一組來進行探究(時間為30分鐘).無論完成好壞，每組都必須匯報探究成果.對于問題1，從反饋的情況來看，大部分組都想到了利用函數(shù)的單調性進行證明，也有部分組想到了利用二項式定理展開來證明，還有極少數(shù)組想到了利用幾何平均值不等式來證明.具體情況如下.

證明方法(一)：

由二項式定理得:

所以

因此

即(1+m)n>(1+n)m.問題1證畢.

也有個別組提出可以用幾何平均值不等式去做.具體如下.

證明方法(二)：

由幾何平均值不等式得：

=(m+1)n.

而1+n≠1,且n>m，因此取不到等號.

于是有(1+m)n>(1+n)m,

所以,命題成立.

證明方法(三)：

所以f′(x)<0.

即f(x)是單調遞減的.

因此

以上三種證明方法相比較，第一種和第三種證明方法比較常規(guī)，然而第一種證明方法計算難度比較大；相比之下，第二種證明方法比較簡潔，且用到的知識點很簡單.雖然沒有哪一組的同學能夠同時想到這三種方法，但是他們通過反饋與交流都學會了這三種方法.遺憾的是，同學們對于問題1的其他任務完成得都不盡人意，因此我們有必要對此進行引導.

受問題1的證明方法(三)的啟發(fā)，我們若將問題1中的整數(shù)改成有理數(shù)，則可得到如下結論.

2.3 命題1

設m,n∈N+且m≤n,則有

教師向同學們繼續(xù)提問：能否用幾何平均值不等式證明此命題？

很多同學能很快給出如下證明.

證明：只需證明右邊，因為右邊的證明完全類似.

由幾何平均值不等式得：

2.4 命題2

設x1≤x2∈Q+,其中Q+表示正有理數(shù)集.則有

(1+x2)x1≤(1+x1)x2.

證明：存在m∈N+,使得mx1,mx2∈N+.

則原命題等價于

(1+x2)mx1≤(1+x1)mx2.

由幾何平均值不等式得：

=(1+x1)mx2.

因此(1+x2)x1≤(1+x1)x2且當x1=x2時取等號.

特別要指出的是，我們利用有理數(shù)的稠密性可將命題2改寫成如下形式.

2.5 命題3

設x1≤x2∈R+,則有

(1+x2)x1≤(1+x1)x2,其中R+表示正實數(shù).

為了進一步鞏固解題成果，我們下一步將繼續(xù)討論.筆者按照循序漸進的原則，設計了如下問題并要求學生對照表3進行深度解題.

表3 要完成的任務

2.6 案 例

問題2 設xk和yk都是正實數(shù)(k=1,…,n).證明：

同學們普遍覺得問題2要比問題1難，而且明顯感到將問題1的證明方法直接遷移過來不是很實用.特別要指出的是：幾乎所有組的同學都認為問題1的證明方法(三)對問題2已失效.但是稍加提示之后，很多同學很快就將問題1的證明方法(一)和(二)遷移過來.

提示：將乘積展開，再考慮用幾何平均不等式.

有了這個提示之后，很多同學很快給出了證明方法(一).證明方法(一)：

①

由幾何平均值不等式得：

因此

將此不等式代入①式即可得要證明的結論.

提示：先將問題2中要證明的不等式的右邊除以左邊，然后再考慮可否利用幾何平均值不等式來證明.

有了這個提示之后，大部分組的同學很快給出了如下證明.

證明方法(二):

原證命題等價于

由幾何平均值不等式得：

因此

問題2證畢.

以上整個教學過程始終是以學生為中心，教師通過這樣的協(xié)同探究過程激發(fā)學生解題的“元認知”，從而引領學生學習深度解題.這個分組探究的學習過程不僅激發(fā)了學生的解題興趣，還拓展了學生的解題視野以及知識面.學生不僅學會了解題，還學會了如何深度解題.為了鞏固學習成果，我們給每個小組布置布置了如下作業(yè).

(1)按照問題1的任務模式，給出如下命題的證明：

設aij>0(i=1,…,n;j=1,…,k).則有

(2)要求每個同學對解題過程和解題方法進行回顧和再認識，將以上解題成果拓展的過程“精致化”，并建立相應的模型.

(3)以組為單位，自選主題(建議以歷年的中、高考題為例)，開展類似的深度解題活動并記錄下來.每個人都必須分別標注自己在本次深度解題活動中的貢獻并上交.(這是在該課程過程中給學生記平時分的主要依據(jù).)

2.7 作業(yè)反饋

對上述案例進行分析，我們的主要目的不是讓未來的中學數(shù)學教師學會解這種類型的題目，而是培養(yǎng)他們這種深度解題意識和習慣.他們一旦養(yǎng)成了深度解題習慣，受益的不僅是他們自己，還有他們將來要教的學生.對于教師來說，這樣的深度解題教學模式嘗試一次并不難，但要長期堅持下去卻極具挑戰(zhàn)性.因為這樣的教學模式對教師提出了極高的要求，它不僅需要教師熟讀教材，還需要教師具有廣博的知識以及高超的深度解題能力.另外，這還需要教師對每一次課的內容的廣度與深度進行精心設計.除此之外，教師需要在“中學數(shù)學解題”課程的教學過程中始終堅持以學生為中心，通過激發(fā)學生的“元認知”和提升學生的交流與協(xié)同意識來調動學生進行深度解題的積極性.

表4 作業(yè)反饋表

3 結 語

“中學數(shù)學解題”作為數(shù)學類師范專業(yè)本科生的一門重要的專業(yè)實踐課，它有著自身的特點.教師通過這門課程的教學，加深學生對數(shù)學專業(yè)知識的理解并拓展學生的知識面，以及提高學生分析和解決數(shù)學問題的能力.為了實現(xiàn)此目標，教師需要在嚴格遵循“以學生為主體，教師為主導”的教學理念的前提下，選擇恰當?shù)慕虒W模式.對于“中學數(shù)學解題”這門課程的教學，我們極力推薦基于研究性學習的深度解題教學模式.