融入數學建模思想的數列復習課教學設計研究

◎王雨紅 楊 劉(合肥師范學院數學與統計學院,安徽 合肥 230601)

一、引 言

數列是普通高中數學新教材人教A版選擇性必修二第四章的內容，是高中數學中非常重要的知識點.學習數列不僅可以加深對數、方程、函數等知識的理解，而且能很好地鍛煉學生的邏輯思維能力.數列是一種特殊的函數，可以有很多的演變，是高考必考的考點，是解決問題的一種重要工具.數列是培養學生數學建模能力的重要素材，是進行數學建模教學很好的載體，比如數列的通項公式、推導求和公式的過程，都是建立數學模型的過程.本節復習課的內容是學生已經學習完等差數列、等比兩種數列的相關基礎知識后進一步的深入學習，對數列知識進行復習與提高，有利于學生更加深刻地理解數列的意義，同時有利于發展學生的數學建模能力，使其將數學知識靈活運用在生活各處.

數列復習課主要圍繞數列的通項公式、前n和公式等基礎知識進行系統梳理與知識鞏固.教科書在閱讀與思考和探究與發現部分介紹過 “斐波那契數列”“ 九連環 ”和“購房中的數學”等問題，但很多學生對此認識并不深刻.高三學生對于數列已具備一定的認知基礎，我們從數學建模角度來看高中數學的數列教學，以現代買房中的數學為切入點做一些深入探討，旨在幫助教師改進數列教學，讓學生體悟數學知識的實用性.在課堂中，教師讓學生根據具體的實例，抽象出相應的數學模型，分析出這是哪一種數列，進而采用相應的公式來解決生活實際的問題，開闊學生的學科視野.

二、數學建模教學

早在1983年，清華大學的蕭樹鐵教授就在高校開設了數學建模課程，還組織了教師培訓班，培養教師的數學建模能力.這也驗證了這句話：要想培養出具有數學建模素養的學生，首先要有懂得數學建模教學的老師.1985年，我國在重慶大學舉辦了全國數學模型教學研討會，對數學建模課程教學及教材建設進行了研討，為數學建模課程的大范圍落實提供了可能性.在20世紀80年代，有少量學校進行數學建模教學，為數學建模融入教學積累了經驗.到1990年12月，數學專業學生數學建模競賽在上海市舉行，這是國內舉行的首次數學建模競賽.從1994年起，我國規定了每年舉辦一次全國大學生數學建模競賽.近年來，數學建模不只存在于在大學教育中，高中數學教學中也有所規定，《普通高中數學課程標準》中提出了包括數學建模素養在內的六大核心素養，在必修和選修課程中都專門設置了數學建模活動與數學探究活動單元，且必修課程建議進行6課時，選修課程建議進行4課時,教師要以課題研究的形式開展教學，而且要求學生完成一個課題研究，并將數學建模核心素養劃分為三個水平，要求學生通過高中數學課程的學習，能有意識地用數學語言表達現實世界，發現和提出問題，感悟數學與現實之間的關聯；學會用數學模型來解決實際問題，積累數學實踐的經驗；認識數學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用，提升實踐能力，增強創新意識和科學精神.所以教師在平時的教學中要注意培養學生的建模思想，教授給學生建模的方法，訓練學生的數學思維，讓學生感悟現實與數學的關聯，循序漸進地發展學生的數學素養.新課改體現了國家對于教育培養人才的質量規格有所變化，更加重視學生的數學知識的應用能力，不只是教師教，學生學，也要重視學生用.知識的教學不能脫離生活情境，學生如果學了知識，在生活中識別不出數學關系，就解決不了問題.長此以往，學生可能會認為除了考試以外數學沒有那么大的作用，進而喪失對數學學習的積極性，容易產生懈怠心理.所以數學應用能力的培養對于激發學生的學習興趣格外重要，教師將建模思想滲透在教學中是十分必要的.

數學建模是將實際問題進行抽象，明確問題中的變量和參數、已知和未知，然后根據已知條件創建他們之間的某種數學聯系，再運用所學知識近似地求解.數學建模實際上是一種數學思考方法，它外顯為符號化或者形象化的表示，讓學生學會用數學語言去表達問題、解決現實問題.在高中階段的數學學習中，數學建模扮演著重要的角色.例如三角函數、對數函數、統計概率等實際問題都與數學建模密切相連，學生在解決實際問題的過程中已經有了建模的過程，只是很少系統地總結出來.教師通過實際案例的教學，學生自主探索、合作探究，以及教師適時的引導，讓學生經歷建模的全過程，歸納出數學建模的一般過程，可以提高學生的數學建模素養.

三、教學設計

(一)教學目標

1.掌握數列基本知識，深刻理解并活學活用，學會在具體的問題情境中識別出數學關系，辨別出數列的等差或等比關系，進行問題解決.

2.經歷探尋實際問題中的數學元素、發現關系、進行符號化處理、創建起數學模型、通過模型求解實際問題的過程，體驗用數學知識來解決問題的一般思路和方法，促進學生數學建模和邏輯推理能力的形成.

3.通過討論、探究活動，培養學生主動探索、敢于猜想的求知精神，發展學生的數學問題意識、數學創新意識，鍛煉學生綜合運用知識來解決問題的能力，拓寬學生思維.

(二)教學重難點

重點：數學問題解決及利用數學知識解決現實問題的一般思路和方法.

難點：能在具體的問題中提取、抽象出數學關系，建立數學模型，再進行求解.

(三)教學方法：啟發法、討論法(四)教學過程

1.復習回顧

教師借助PPT，讓學生回顧與數列相關的基礎知識.

等差數列等比數列定義an+1-an=dan+1an=q(q≠0)通項公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1(q≠0)前n項和Sn=n2(a1+an)Sn=na1+n(n-1)2dSn=a1(1-qn)1-qSn=a1-anq1-q

設計意圖：學生通過復習，可以對學過的知識進行鞏固，喚起學生認知結構中已有的數列知識經驗，為本節課后續的相關學習奠定一定的知識基礎，有利于學生將知識系統化，更好地運用所學知識.

2.提出問題

貸款買房已經成為一種新式的買房方式，基本每個家庭都有買房的需求，對于普通工薪階層來說，要一次性拿出大數額金錢去買房，實在有點困難，應運而生的貸款買房方式成為人們實現買房夢的最優選擇，人們對購房決策有不同的看法，不同家庭也會有不同的選擇.現有一對夫婦欲購置新房，但缺乏資金，現需要向銀行借貸款150萬元，貸款年限20年，年利率為0.043，有等額本息和等額本金兩種還款方式，請你幫忙分析下，他們用哪一種還款方式更劃算?

設計意圖：教師從貼近生活的實例出發，引起學生對解決實際問題的強烈求知欲,調動學生的學習興趣，為以后的數學思維活動構建起感性的認識基礎，以增強學生學習的積極程度，使學生感受到數學的實踐性,以培養其數理視野，對日常生活中的實際現象展開理性思考，密切聯系日常生活實踐，使學生感受到數學模型思維的應用落實.

3.合理假設，提出要求

(1)貸款期限確定后，在貸款期內，貸款月利率保持不變.

(2)不考慮物價變化等經濟波動的因素.

(3)借款人每月都能按時支付買房貸款所需的償還款項.

設計意圖：在數學上研究問題時，我們要考慮到在相應的條件下問題發生的情況是否合理，所以將案例中可能與實際情況有出入的地方做一些規定，讓學生在相對理想的情境中解決問題，避免問題不必要的發散，降低問題的復雜性，將問題難度限制在學生的最近發展區內，將實際問題化為學生力所能及的、通過努力能夠解決的問題.

4.分析問題(學生先獨立思考，再小組討論)

師：你能在這個例子中找到已知條件和要求解的目標嗎？你能對他們進行符號化嗎？

請同學們在小組內部討論，討論結束派個代表來闡述你們的想法.

生：已知條件是貸款金額記為a=150萬，貸款月數記為m=240月，年利率記為R=0.048,月利率記為p=R/12=0.004.

(等額本金)方案一：第n月的還款金額記為An.(1

(等額本息)方案二：每月還款金額記為x.

求解目標：計算出An和x.

設計意圖：明確問題才能更有針對性地解決問題，教師引導學生根據給定的實際問題，提取其中的數學信息，并進行符號化處理，不僅能為后續研究做好準備，還能讓學生對問題進行再一次梳理，明確已知條件和求解目標，有利于問題解決.

5.尋找關系，模型假設

師：明確了各個量的符號，那該如何計算、如何還款呢？

生：一片茫然.

師：(PPT演示)老師給出兩種還款方式的計算公式，根據剛才我們將各量進行的設定，接下來同學們繼續認真思考并討論，根據我們所學的知識，結合老師給出的計算方法，怎樣計算每個月還款金額呢？

方案一：等額本金

每月應還本金=貸款本金÷還款月數

每月應還利息=(貸款本金-已歸還的本金累計金額)×月利率

每月還款金額=(貸款本金/還款月數)+(本金-已歸還本金累計額)×每月利率

方案二：等額本息

每月還款額=[貸款本金×月利率×(1+月利率)＾還款月數]÷[(1+月利率)＾還款月數-1]

設計意圖：教師將兩種還款方式給出計算公式，并對其進行解釋說明，學生先獨立思考，有了初步的想法以后，再小組討論，得出各量之間的數學關系，并進行合理假設.教師引導學生用學過的知識來剖析問題，了解題目的本質，小組合作學習，發現其中的數學關系，培養學生合作學習、探究學習的意識.

6.模型建立與求解

師：同學們討論得非常激烈，哪個小組來分享一下？好，請第一組的代表來說.

生1：方案一(等額本金)

設An是第n月的還款金額.

?

?

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=222.3萬

a1=1.225a2=1.2225a3=1.22……am=0.6275萬

師：說得很好，同學們有不同意見嗎？沒有的話我們再請一組同學來分析一下方案二.

生2：方案二(等額本息)

m月后的本息總額Sm=a(1+p)m，

設每月還款金額為x,則x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-2+x(1+p)m-1=a(1+p)m，

可知，左側是首項為x,公比為(1+p)的等比數列，

上式代入：a=150，m=240，p=0.004，

可求得：Sm=391萬，x=0.9734萬.

設計意圖：建立模型是本節課的重點，也是數學建模活動最關鍵的環節，基于此，以實際問題為驅動，為學生創造了探究發現、合作學習、交流分享的機會.教師使學生親身體驗建立模型、求解模型的過程，使學生分析問題和解決問題的能力有所進步，學生的思維能力得到了有效的提高.學生經歷問題解決和模型的建立過程，結合所學的知識，分析出是哪一種數列，進而求解.

7.模型分析

師：非常好！經過大家的努力，我們已經基本把兩種方案都解出來了，但是對于這對夫婦，他們該選擇哪一種方案呢？請你幫他們選擇最佳的方案，并說出理由.

生1：選方案一！因為總還款數比方案一少，可以省下很多錢.

生2：選方案二！因為每個月還的錢數是固定的，而且月還款額較低，對于他們來說壓力不會太大.

師：你們講得都非常有道理.我們來列個表格對比下：

方案一方案二借款總額150萬元150萬元還款本息總額222.3萬元391萬元每月還款額1.225,1.2225,…0.6275萬元0.9734萬元

如表所示，方案一每月還款數額不同，起始幾個月還款數額較大，以后的每月逐次遞減，從1.225萬元遞減到 0.6275萬元，初期還款壓力較大，后期還款數額越來越小，減輕了還款壓力，方案一總還款額低于方案二，省了 168.7萬元；方案二每月還款金額較為固定，為0.9734萬元，每月還款金額對大多數家庭來說易于接受，但缺點是其總共還款金額過多，為391萬元.總的來說，兩種方案各有利弊，我們應該根據家庭收入情況合理地選擇.

設計意圖：學生通過合作學習和自主探究，認真分析問題，步步深入，經歷數學建模活動的全過程，進而將還款問題歸結到我們學過的數列問題，進行靈活運用來解決問題.教師將建模思想融入高中數學教學中，使學生善于發現問題、提出問題并解決問題，學生能嘗試用數學語言來表達問題，感悟數學知識與現實生活之間的聯系，學會用數學模型解決實際中的問題，積累數學經驗，提升實踐能力，增強創新意識.

8.課堂小結

師：同學們，通過這個問題的解決，再遇到類似情景，你知道如何選擇了嗎？這節課你還有什么收獲呢?

生1：我知道了貸款買房還款的方式有兩種，而且等額本金的總還款額最少.

生2：我懂得了利用我們所接觸的數列知識可以解決許多生活中看起來很復雜的問題，那些問題經過數學工具的提煉和簡化就迎刃而解了.

生3：這節課我們交流討論，相互合作來解決問題，讓我體會到了團結合作的力量，讓我更喜歡數學了.

師追問：通過本節課的探究，你能總結出數學建模的一般思路和方法嗎？

生4：提出問題——合理假設——分析問題——建立模型——求解模型——分析模型.

教師板書數學建模一般過程.

四、總 結

在上述教學案例中，教師引導學生通過分析具體實例，利用其中數學的信息，抽象出數學模型，并進行分析并求解，讓學生感受并參與數學建模的全過程，在自主探究的過程中提升應用意識和創新能力.

將數學建模思想融入高中數列的教學，使學生深刻理解數列在實際生活中的應用，反映數學的應用價值，還能夠促進學生思維的培養.培養高中生的數學建模能力不是一蹴而就的，教師需要在日常教學中逐漸培養學生的數學建模意識，使其成為一種習慣和思考方法.教師在高中數學教學中適當地開展數學建模教學，符合學生發展的需要，符合社會發展的需要，有利于激發學生的數學探究興趣，有利于增強學生的應用意識和數學創新能力.